Demostrando una suma límite

Question

Muestra esa

PS

¿Cómo probarías esto? Entiendo los límites, pero los resúmenes no tanto. ¿Debería tomar primero el derivado de la suma y luego evaluar el límite de eso?

Answer 1

Escritura

PS

vemos que su suma es una suma de Riemann para la función$$\sum_{k=0}^{2n} \frac{k}{k^2 + n^2} = \frac{1}{2n}\sum_{k = 1}^{2n} \frac{\frac{k}{2n}}{\left(\frac{k}{2n}\right)^2 + \frac{1}{4}}$ en el intervalo$f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1/4}$. Así que el límite es

PS

Al usar un$[0,1]$ - sub$$\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1/4}\, dx$, puede mostrar que la integral se evalúa como$u$.