¿Cómo resolver una potencia de un número negativo?

Question

$\left(-64\right)^{\left(\frac{3}{2}\right)}$

(Descargo de responsabilidad - Trabajo en un centro de matemáticas de la HS, ayudando a los estudiantes. Esto es de un texto de Álgebra/Trig utilizado por los estudiantes de segundo y tercer año, dependiendo de la clase. De vez en cuando, me encuentro con una situación impar que no recuerdo cómo resolver. ¿Es esto una paradoja, o hay una respuesta preferida)?

Leí a través de ¿Cómo se calculan los números negativos a potencias fraccionarias? dos veces, y el problema no es con la i, los estudiantes saben cómo manejar una simple raíz cuadrada de -1, es más práctico - ¿sugiero que eleven a la potencia primero, que tomen la raíz primero, o que objeten a una potencia no entera de un número negativo? Gran parte de las respuestas enlazadas están muy por encima de su nivel.

Answer 1

Personalmente, yo haría primero la raíz cuadrada porque los alumnos saben cómo hacerlo, dando $(8i)^3=-512i$ .

Como en todas las preguntas de raíz cuadrada, hay dos respuestas posibles: si se cubica primero y luego se saca la raíz cuadrada, se obtiene $512i$ . Esto sugiere que hay una convención oculta en el trabajo - de hecho la hay, y es una cosa más sutil cuando se trata de números complejos.

Personalmente, no veo el sentido de plantear una pregunta como ésta, que realmente pertenece a los Diagramas de Argand y a la forma módulo/argumento de los números complejos en el nivel elemental. Pasa por encima de demasiadas cuestiones que pueden confundir sin que el equipo matemático o el lenguaje para discutirlas.

Answer 2

Tal vez pueda decir que $-64=(-1)\times 8^2 \rightarrow (-64)^{3/2}=(-1)^{3/2}(8^2)^{3/2}=(-1)^{3/2}8^3$