Productos de las variables del proceso estocástico gaussiano.

Question

En el clásico de la física experimental de texto "Teoría Estadística de Detección de la Señal" de Carl. W. Helstrom, Capítulo II, sección 4 de las preocupaciones de Gauss Procesos Estocásticos. Un proceso que se observa a veces $t_1, t_2, t_3, ... t_n$ obtener $n$ variables aleatorias $x_1, x_2, x_3, ... x_n$, entonces la densidad de probabilidad para la $n$ variables es de la forma:
$$p_n(x_1,t_1; x_2,t_2; ...; x_n,t_n) = M_n\;\exp(-0.5\Sigma_j\Sigma_k\mu_{jk}x_jx_k).$$
donde $\mu_{jk}$ es una matriz positiva definida y $M_n$ es una constante de normalización para dar unidad probabilidad de que al integrar sobre todos los valores posibles:
$$M_n = (2\pi)^{-n/2}\;|\;\textrm{det}\;\mu|^{0.5},$$ donde $\mu$ es el determinante de la matriz $\mu_{jk}$. Asumimos que los valores esperados son todos cero: $E(x_k)=0$.

Se observa que el valor esperado del producto de cualquier número impar de $x_j$ es cero (lo que parece a seguir a partir de la simetría), y da una fórmula para el valor esperado de un producto de los números pares de variables. Definimos $\phi_{jk}$ como:
$$\phi_{jk} = E(x_jx_k).$$ Él señala a continuación que:
$$E(x_1x_2x_3x_4) = \phi_{12}\phi_{34} + \phi_{13}\phi_{24} + \phi_{14}\phi_{23}.$$

Hay una prueba simple? Y hay una prueba simple que se refiere a los métodos de la mecánica cuántica o la teoría cuántica de campos?

Answer 1

Sí, es fácil de demostrar el uso de momento la generación de funciones. Y sí, la matemática es muy estrechamente relacionado con el de la teoría cuántica de campos.

Calcular $G(j) = <exp(\sum j_i x_i)>$ donde cada una de las $j_i$ es una "fuente" para el correspondiente $x_i$. Esto es fácilmente demostrado ser algo como $G(j) = exp(\sum j_i \mu_{ij}^{-1} j_j)$ Para obtener la expectativa de valores que, a continuación, tome $ <x_i x_j ...> = \frac{\partial}{\partial j_i} \frac{\partial}{\partial j_j} ... G(j)|_{j=0}$ . El resto de la siguiente manera sencilla. En particular, usted puede ver cómo las variables deben ser agrupados en pares para obtener un valor distinto de cero resultados cuando se establece $j=0$ después de tomar derivados. Básicamente usted tiene una Feynman expansión de un no-interacción 0-dimensional de la teoría de campo.

Esto está muy bien en la Zee de la "Teoría Cuántica de campos en una cáscara de Nuez", donde es una aplicación sencilla de lo que él llama la "central de la identidad de la teoría cuántica de campos"