Cómo derivar el Karman-Howarth-Monin relación anisotrópico turbulencia?

Question

Me parece la derivación de la Karman-Howarth-Monin relación en el libro de la Turbulencia de Frisch (1995) un poco corto. Puede que alguien me apunte a una descripción más detallada de derivación de esa relación, si es posible en una fuente de acceso público (apuntes, tesis, arXiv papel)? O puede que alguien me explique cómo Frisch obtiene la ecuación que sigue a la frase en la página 78:

A partir de la ecuación de Navier-Stokes (6.6), se obtiene $$\begin{align} \partial_t \frac{1}{2}\langle v_i v'_i \rangle =& - \frac{1}{2} \partial_j \langle v_i v_j v'_i\rangle - \frac{1}{2} \partial'_j \langle v'_i v'_j v_i\rangle \\ & - \frac{1}{2} \langle v'_i \partial_i p \rangle - \frac{1}{2} \langle v_i \partial'_i p' \rangle\\ &+ \frac{1}{2} \langle v'_i f_i \rangle + \frac{1}{2} \langle v_i f'_i \rangle \\ & + \frac{1}{2} \nu \left( \partial_{jj} + \partial'_{jj} \right) \langle v_iv'_i\rangle. \qquad (6.11) \end{align} $$

Answer 1

Permítanme aquí sólo se derivan de la ecuación (6.11) que sigue a la frase que usted menciona. La ecuación de Navier-Stokes (6,6 a) lee

$$\partial_t v_i + v_j\partial_j v_i = -\partial_i p + f_i + \nu~\partial_j\partial_j v_i.$$

El incompressibility condición (6.6 b) lee

$$\partial_jv_j=0. $$

Por lo tanto, tenemos en la barnizadas y la imprimación punto de que

$$\partial_t v_i = -\partial_j(v_j v_i) -\partial_i p + f_i + \nu~\partial_j\partial_j v_i,$$

y

$$\partial_t v'_i =-\partial'_j(v'_j v'_i) -\partial'_i p' + f'_i + \nu~\partial'_j\partial'_j v'_i,$$

respectivamente. Por lo tanto, con un promedio de rendimientos

$$\begin{align} \partial_t \langle v_i v'_i \rangle &= \langle v'_i \partial_t v_i \rangle + \langle v_i \partial_t v'_i \rangle \\ &= - \langle v'_i\partial_j(v_j v_i) \rangle - \langle v_i \partial_j'(v'_j v'_i) \rangle \\ & -\langle v'_i \partial_i p \rangle -\langle v_i \partial'_i p' \rangle\\ & +\langle v'_i f_i \rangle +\langle v_i f'_i \rangle \\ & +\nu \langle v'_i\partial_j\partial_jv_i\rangle + \nu \langle v_i\partial'_j\partial'_j v'_i\rangle \\ &= -\partial_j \langle v_i v_j v'_i\rangle -\partial_j' \langle v'_i v'_j v_i\rangle \\ & -\langle v'_i \partial_i p \rangle -\langle v_i \partial'_i p' \rangle\\ & +\langle v'_i f_i \rangle +\langle v_i f'_i \rangle \\ & +\nu\left( \partial_j\partial_j + \partial'_j\partial'_j\right)\langle v_iv'_i\rangle, \end{align} $$

donde hemos utilizado que el promedio de la diferenciación y de viaje, y también que las cebadas velocidades son independientes de barnizadas derivados, y vice-versa.

El pleno de Karman-Howarth-Monin relación se deriva de Marc Brachet en la p.8-9 aquí, fundamentalmente, tras el libro por Uriel Frisch (1995).