Una integral de Putnam $\int_2^4 \frac{\sqrt{\ln(9-x)}\,dx}{\sqrt{\ln(9-x)} + \sqrt{\ln(x+3)}}.$

Question

Se trata de un problema de Putnam que llevo dos años intentando resolver (de forma intermitente), pero he fracasado. Estoy en Cálculo BC. Este problema viene del libro "Calculus Eighth Edition by Larson, Hostetler, and Edwards". Este problema está al final de la primera sección de los ejercicios del capítulo 8. Este es el problema:

Evaluar $$\int_2^4 \frac{\sqrt{\ln(9-x)}\,dx}{\sqrt{\ln(9-x)} + \sqrt{\ln(x+3)}}.$$

Por favor. Cualquier ayuda es muy apreciada. También las soluciones. Gracias.

Editar : Me gusta la solución dada, pero me interesaba ver si hay alguna otra forma de hacer el problema? Estoy ansioso por ver los resultados.

Answer 1

Dejemos que $$ \mathcal{I}=\int_{2}^{4}\dfrac{\sqrt{\ln(9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(3+x)}}\,\mathrm{d}x $$ Ahora, usa eso $$ \int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\overset{(1)}{=}\int_{a}^{b}f(a+b-x)\,\mathrm{d}x $$ Entonces, $$ \mathcal{I}=\int_{2}^{4}\dfrac{\sqrt{\ln(3+x)}}{\sqrt{\ln(3+x)}+\sqrt{\ln(9-x)}}\,\mathrm{d}x $$ Suma estas dos integrales para obtener $$ 2\mathcal{I}=\int_{2}^{4}\dfrac{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(3+x)}}{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(3+x)}}\,\mathrm{d}x $$ Así, $$ \mathcal{I}=1 $$

Para demostrar $(1)$ , escribe la integral utilizando otra variable, digamos, $t$ : $$ \int_{a}^{b}f(a+b-x)\,\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(a+b-t)\,\mathrm{d}t $$ En este último, se establece $x=a+b-t$ et $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}x$ y cambiar los límites de integración para obtener $$ \begin{aligned} \int_{a}^{b}f(a+b-t)\,\mathrm{d}t&=-\int_{b}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x. \end{aligned} $$