En la literatura del campo de las teorías en el plano espacio-tiempo, ambas formas de Euler Lagrange ecuación se utilizan.
e.g Considere la posibilidad de un verdadero campo escalar $\phi$
$$\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial \phi,_\mu}=\frac{\partial L}{\partial \phi}\qquad\text{where}\qquad\phi,_\mu = \frac{\partial \phi}{\partial x^\mu}\tag{a}$$
$$\partial^\mu\frac{\partial L}{\partial \phi,^\mu}=\frac{\partial L}{\partial \phi}\qquad\text{where}\qquad\phi,^\mu = \frac{\partial \phi}{\partial x_\mu}\tag{b}$$
Desde $\partial^\mu = \pm \partial_{\mu}$, las dos formas son, obviamente, equivalente a unos de otros. Sin embargo, a veces me siento bastante incómodo con la forma b. Originalmente, el espacio-tiempo del elemento de volumen se define a ser $dtdxdydz = \prod_{\mu}dx^\mu$. Formulario b de la ecuación de Euler implica que estamos pensando en el Lagrangiano y el campo de $\phi$ como una función de la $x_\mu$ en la acción integral y en el curso del cálculo variacional. Me gustaría saber si es posible considerar el espacio-tiempo de volumen como $\prod_{\mu}dx_\mu$, de modo que todo lo que es matemáticamente consistente?
(Creo que es un poco antinatural para considerar la acción $ S = \int L $ como una integración con respecto a la $x_{\mu}$. Entiendo que esta pregunta no puede tener ningún significado físico, pero me gustaría saber la respuesta para el bien de la matemática claridad.)
