¿Por qué la transformación de coordenadas desde las coordenadas cartesianas conduce a un término adicional en el operador biharmónico en coordenadas esféricas

Question

Estoy intentando resolver un problema de física en el que interviene el operador biharmónico. Creo que el operador biharmónico se puede obtener tomando el doble del operador de Laplace, tal que $\nabla^4 f = \nabla^2 (\nabla^2 f)$ . Aquí $f$ es una función del ángulo polar $\phi$ sólo (es decir, en el caso axisimétrico para simplificar). De este modo, el operador de Laplace se lee $$ \nabla^2 f(\phi) = \frac{1}{a^2 \sin\phi} \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \sin\phi \frac{\partial f}{\partial \phi} \right) \, , $$ donde $a$ siendo el radio de la esfera. En principio, el operador biharmónico se obtiene tras aplicar dos veces la operación anterior, para obtener $$ \nabla^4 f(\phi) = \frac{1}{a^4} \left( \frac{\partial^4 f}{\partial \phi^4} + 2\cot\phi \frac{\partial^3 f}{\partial \phi^3} -(2+\cot^2 \phi) \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} +\cot\phi (1+\cot^2\phi) \frac{\partial f}{\partial \phi} \right) \, . $$ Sin embargo, si partimos de la ecuación biarmónica en coordenadas cartesianas, a saber $$ \nabla^4 f(x,y,z) = \frac{\partial^4 f}{\partial x^4} + \frac{\partial^4 f}{\partial y^4} + \frac{\partial^4 f}{\partial z^4} + 2 \left( \frac{\partial^4 f}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4 f}{\partial y^2 \partial z^2} + \frac{\partial^4 f}{\partial x^2 \partial z^2} \right) \, , $$ y aplicar la transformación de coordenadas a esféricas, por ejemplo, utilizando Maple PDEchangecoords y, por supuesto, dejar de depender de $r$ y $\theta$ Obtengo el siguiente biharmónico $$ \nabla^4 f(\phi) = \frac{1}{a^4} \left( \frac{\partial^4 f}{\partial \phi^4} + 2\cot\phi \frac{\partial^3 f}{\partial \phi^3} -\cot^2 \phi\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} +\cot\phi (3+\cot^2\phi) \frac{\partial f}{\partial \phi} \right) \, , $$ es decir, aparecen los siguientes términos adicionales $$ \frac{2}{a^4} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial f}{\partial \phi} \cot \phi \right) \, , $$

Mi pregunta es ¿qué operador biharmónico resultante es el correcto? ¿Cuál es la razón de la discrepancia entre los dos resultados? Gracias,

a

Answer 1

Como no has mostrado tu trabajo, sólo puedo conjeturar que has olvidado diferenciar $a$ en

$$\Delta f = \frac{1}{a^2 \sin\phi} \frac{\partial}{\partial \phi} \left( \sin\phi \frac{\partial f}{\partial \phi} \right) + \frac{1}{a^2\sin^2\phi} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} \, , $$

En el siguiente paso, si quiere tomar $\Delta$ de nuevo, nota entonces $\Delta f$ NO es independiente de $a$ . Así que hay que utilizar la fórmula general, que tiene un término extra:

$$\frac{1}{a^2} \frac{\partial}{\partial a}\left( a^2 \frac{\partial}{\partial a}\right)$$

Desde

$$\left[\frac{1}{a^2} \frac{\partial}{\partial a}\left( a^2 \frac{\partial}{\partial a}\right)\right] \frac{1}{a^2} = \frac{2}{a^4},$$

por lo que si realmente te lo perdiste, estarás fuera del plazo establecido.

Answer 2

Creo que la cuestión es que estás confundiendo el operador Biharmónico $\Delta^2$ de la esfera (la primera de su pregunta) con la que $\bar \Delta^2$ de $\mathbb R^3;$ es decir, estás asumiendo que cuando $f : \mathbb R^3 \to \mathbb R$ depende sólo de $\phi, \theta$ que $\Delta^2 f = \bar \Delta^2 f$ . La afirmación equivalente para el laplaciano es verdadera ya que $\bar \Delta f = \Delta f + \partial_r ^2 f$ pero para $\Delta^2$ simplemente no lo es. La expresión correcta es

$$ \bar \Delta^2 f = \bar \Delta (\Delta f + \partial_r ^2 f) = \bar \Delta \Delta f = \Delta^2 f + \partial_r^2 \Delta f.$$

Los términos $\Delta \partial_r^2 f$ y $\partial_r^4 f$ desaparecen porque $f$ no depende de $r$ , pero el $\partial_r^2 \Delta f$ no . A esto es a lo que se refiere la respuesta y los comentarios de John, ya que la expresión de coordenadas para $\Delta f$ depende del radio de la esfera, $\bar \Delta^2$ y $\Delta^2$ no coinciden ni siquiera en el caso simétrico.