El uso de la base de $e=[x^3,x^2,x,1]$ en lugar de $e=[1,x,x^2,x^3]$

Question

Así que en un examen, yo tengo cero puntos en la pregunta (y sub-preguntas) para encontrar la matriz de operador lineal $L:\Bbb{R}^4[x]\to \Bbb{R}^4[x]$ $L(p(x)) = p(x)+xp(2)$ con respecto a la base canónica $e$

He dicho que estoy usando la notación $(a,b,c,d)$ a la media de $(ax^3,bx^2,cx,d)$ He encontrado en la matriz de $L$ permite decir $A$ que es $$A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\8 & 4 & 3 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$ Ahora $$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\8 & 4 & 3 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \\ b \\ c \\ d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a \\ b \\ 8a+4b+3c+d \\ d\end{bmatrix}$$ Cual es el resultado correcto (con mi notation), sin embargo tienen una diferente de la matriz mediante el uso de $(a,b,c,d) = (a,bx,cx^2,dx^3)$ Se encuentra $$A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 3 & 4 & 8\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$ Que es de nuevo la respuesta correcta (mediante su notación), así que estoy buscando referencias para el uso de la primera anotación o referencias/razones de por qué mi notación está mal.

Answer 1

No tiene sentido preguntar cuál es la matriz de una transformación lineal sin la fijación de las bases. Si la persona a quien esta pregunta se le pide es libre para elegir esas bases, a continuación, ambas respuestas son correctas.

Answer 2

Si $\bf J$ denota el Cambio de la matriz $$ {\bf J} = {\bf J}^T = {\bf J}^{\, - 1} = \a la izquierda( {\matriz{ 0 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 & 0 \cr } } \right) $$ entonces $$ \left( {\matriz{ {x^{\,3} } \cr {x^{\,2} } \cr {x^{\,1} } \cr {x^{\,0} } \cr } } \right) = {\bf J}\left( {\matriz{ {x^{\,0} } \cr {x^{\,1} } \cr {x^{\,2} } \cr {x^{\,3} } \cr } } \right) $$ y entre la matriz se han encontrado y se espera que uno no es un cambio de base dela relación $$ {\bf A} = {\bf J}\,{\bf'}\;{\bf J} = {\bf J}\,{\bf'}\;{\bf J}^{\,{\bf - 1}} = {\bf J}^{\,{\bf - 1}} \,{\bf'}\;{\bf J} $$

Por lo tanto, si usted ha especificado la base de que estaban considerando, tu respuesta es correcta y debe ser aceptado.

Answer 3

Las otras respuestas hasta el momento falta un punto clave: el examen de la cuestión que usted ha presentado aquí requiere el uso de la "base canónica." Eso es un requisito muy específico. Si la base de que usted eligió para uso era diferente, recuerde que estos son ordenados bases, por lo que el mismo vectores en un orden diferente, es una base diferente, entonces usted no responde correctamente la pregunta. Fuera de referencias para apoyar su enfoque son bastante irrelevante, creo. Lo que importa para este examen es la definición de "base canónica" que fue utilizado en el curso.

Por mi parte, me he dado parcial de crédito en lugar de un cero para trabajar a través de una solución, pero se produjo un error para responder a la pregunta específica que le han dado.

Answer 4

• En primer lugar : "yo estoy usando la notación $(a,b,c,d)$ a la media de $(ax^3,bx^2,cx,d)$" no tiene ningún sentido. Usted quería decir, "yo estoy usando la notación $(a,b,c,d)$ para denotar $ax^3+bx^2+cx+d$".

• En segundo lugar : En su notación, ¿ por ejemplo, $x$ se refieren a el vector $\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ 0\end{pmatrix}$ o el vector $\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}$ ? Debido a que el uso de la base $\{x^3,x^2,x,1\}$ $$\left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$$ is correct, but using $\{x^3,x^2,x,1\}$ for $$\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$$ es convencionalmente no es correcto, pero tiene sentido con su notación (y es lo que parecen haber hecho).

Pero su trabajo no lo merecen 0 marca. En mi opinión, se merece casi todos los puntos de esta pregunta (ya que precisa que el $(a,b,c,d)$ se refieren a $ax^3+bx^2+cx+d$). Extraño que usted tiene 0 marca !