Agujeros negros rotativos y singularidad desnuda

Question

En el libro La ciencia de la ciencia interestelar de Kip Thorne se puede encontrar lo siguiente:

Hay una velocidad de giro máxima que cualquier agujero negro puede tener. Si gira más rápido que ese máximo, su horizonte desaparece, dejando la singularidad en su interior abierta de par en par para que todo el universo la vea; es decir, dejándola desnuda.

¿Puede alguien explicarme por qué y cómo un agujero negro que gira tan rápido haría desaparecer su horizonte?

Answer 1

La geometría del espacio tiempo alrededor de un agujero negro giratorio sin carga se describe en el La métrica de Kerr . Daré esto a continuación, y se verá aterrador, pero ten paciencia porque sólo hay un pequeño trozo de la ecuación que necesitamos para ver por qué el horizonte desaparece. De todas formas, la métrica de Kerr es:

$$ \begin {align} ds^2 &= -(1 - \frac {r_s r}{ \rho ^2})dt^2 \\ &+ \frac { \rho ^2}{ \Delta }dr^2 \\ &+ \rho ^2d \theta ^2 \\ &+ (r^2 + \alpha ^2 + \frac {r_s r \alpha ^2}{ \rho ^2} \sin ^2 \theta ) \sin ^2 \theta d \phi ^2 \\ &+ \frac {2r_sr \alpha\sin ^2 \theta }{ \rho ^2}dt d \phi \end {align}$$

Dónde:

$$ \begin {align} r_s &= 2M \\ \alpha &= \frac {J}{M} \\ \rho ^2 &= r^2 + \alpha ^2 \cos ^2 \theta \\ \Delta &= r^2 - r_sr + \alpha ^2 \end {align}$$

En la ecuación $J$ es el momento angular del agujero negro, $r$ es la distancia desde el centro del agujero negro, $ \theta $ es la latitud, $ \phi $ es la longitud y $t$ es el tiempo. El parámetro que se calcula $ds$ es la distancia total movida si te mueves por una distancia $dr$ y ángulos $d \theta $ y $d \phi $ en un tiempo $dt$ .

Ahora, supongamos que nos quedamos en algún ángulo fijo en relación con el agujero negro, así que $d \theta = d \phi = 0$ y medimos la distancia a lo largo del radio hasta el centro del agujero negro. Escogeremos un tiempo fijo $t$ para la medición, así que $dt = 0$ . Con todas estas restricciones la métrica se simplifica drásticamente:

$$ ds^2 = \frac { \rho ^2}{ \Delta }dr^2 $$

y esto es lo que necesitamos para entender el comportamiento del horizonte, porque el radio del horizonte de sucesos es el valor de $r$ para el cual el valor de $ds^2$ va al infinito. Esto sucede cuando $ \Delta = 0$ porque entonces obtenemos una división por cero. Así que para encontrar el radio del horizonte de sucesos sólo tenemos que resolver la ecuación:

$$ \Delta = r^2 - r_sr + \alpha ^2 = 0 $$

y esto es sólo un cuadrático en $r$ como todos aprendimos a resolver en la escuela. Usando el fórmula cuadrática la solución es (dada por la raíz más grande):

$$ r = \frac {r_s + \sqrt {r_s^2 - 4 \alpha ^2}}{2} \tag {1} $$

Y la variación del radio del horizonte del evento $r$ con $ \alpha /r$ parece:

Observe que la línea se detiene en $r/r_s = 0.5$ y $ \alpha /r_s = 0.5$ . La línea se detiene aquí porque más allá de este punto la ecuación (1) para $r$ no tiene raíces reales, y esto significa que no hay un horizonte de sucesos. Pero recuerde que $ \alpha $ está ligado al momento angular $J$ por:

$$ \alpha = \frac {J}{M} $$

Así que para cualquier valor del momento angular $J > M$ no hay un horizonte de sucesos, y por eso el horizonte de sucesos desaparece cuando giras el agujero negro demasiado rápido.

Sin embargo, hay buenas razones para suponer que un agujero negro nunca puede girar tan rápido, y la desaparición del horizonte de sucesos no es real, sino más bien una señal de que hemos tratado de aplicar la métrica Kerr a un sistema que no puede existir físicamente. Hay un artículo aquí (160KB PDF) analizando la física, y las conclusiones son que es físicamente imposible hacer girar un agujero negro tan rápido.