Cada grupo tiene un número finito de índice subgrupo?

Question

Cada grupo tiene un número finito de índice de subgrupo (además de todo el grupo)? Sospecho que la respuesta es no, pero no he encontrado un ejemplo.

¿Qué acerca de finitely presentados o grupos generados? O grupos de torsión?

He intentado algo así como tomar una presentación y seleccionando algunos de los generadores, pero no creo que esto funciona incluso si $G$ ha de torsión, ya que los otros generadores podrían interactuar en una forma complicada. Tal vez si pudiéramos encontrar una mínima presentación de un grupo con la torsión que contiene (como un generador) un elemento de torsión, esto debería funcionar, pero no estoy seguro de por qué un mínimo de presentación que debe de existir.

Answer 1

La condición de que un grupo tiene un trivial finito índice de subgrupo es equivalente a la condición de que tiene un trivial finito cociente, y también equivalente a la condición de que los actos trivial en algunas conjunto finito (ejercicio).

Como se indicó en los comentarios, $\mathbb{Q}$ es un ejemplo sencillo de un grupo no trivial finito de coeficientes (ejercicio), el punto es que los cocientes de dividir los grupos son divisibles, pero no trivial elemento de un grupo finito es divisible. Si quieres un ejemplo que es de torsión, a continuación, tome $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, que todavía es divisible.

Incluso suponiendo que finitely presentado no ayuda: el Higman grupo es un finitely presentó el grupo no trivial finito de coeficientes.