¿Es mi prueba de $\lim_{x\to \infty}\frac 1x = 0$ ¿correcto?

Question

Traté de probar $$\lim_{x\to \infty}\frac 1x = 0$$ Empecé así $$\lim_{x\to \infty}\frac 1x=\lim_{x\to \infty}\frac x{x^2}$$ Aplicando La regla de L'Hospital $$\lim_{x\to \infty}\frac 1x=\lim_{x\to \infty}\frac x{x^2}=\lim_{x\to \infty}\frac 1{2x}=\frac12\lim_{x\to \infty}\frac 1x$$ Así, $$\frac12\lim_{x\to \infty}\frac 1x=\lim_{x\to \infty}\frac 1x$$ lo que implica, por tanto, que $$\lim_{x\to \infty}\frac 1x = 0$$ QED.

Answer 1

Yo también intenté lo mismo:

$$\lim_{x\to\infty}x=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}x\stackrel{L'H}=2\lim_{x\to\infty}x$$

Así,

$$\lim_{x\to\infty}x=2\lim_{x\to\infty}x$$

Y como usted ha dicho,

$$\lim_{x\to\infty}x=0$$

QED (?)

Answer 2

Esto es incorrecto, ya que sólo se puede utilizar la Regla de L'Hospital cuando se sabe que existe el límite de la relación de la derivada.

Answer 3

Lo que ha demostrado (¡muy inteligentemente!) es que si el límite $\lim_{x\to\infty}{1\over x}$ existe entonces, por L'Hopital, sólo puede ser igual a $0$ . La respuesta de Simply Beautiful Art establece el mismo resultado para $\lim_{x\to\infty}x$ . La diferencia es que en tu caso el límite existe realmente, mientras que en el caso de la SBA no. Ese era el mensaje implícito de la SBA: Usted no ha demostrado que el límite es $0$ , sólo has demostrado una afirmación condicional; queda por demostrar que el límite existe.

Una posible forma de demostrar que el límite existe sin calcularlo explícitamente sería invocar (o demostrar) un teorema que diga que una función monotónicamente decreciente y acotada por debajo tiene necesariamente un límite como $x$ tiende al infinito.

En esencia, has realizado el segundo paso de un proceso de dos etapas. Hay otras preguntas de MSE en las que suponer que el límite existe te permite calcularlo; cuando tenga más tiempo intentaré proporcionar algunos enlaces. Sin embargo, esta es la primera vez que veo que se utiliza la regla de L'Hopital como parte de la derivación.

Answer 4

No es una respuesta - esencialmente un comentario y demasiado largo para un comentario que no quiero que se pierda en la ráfaga de comentarios existentes.

Muchos estudiantes intentan L'Hopital sin pensarlo cuando se enfrentan al límite de una forma indeterminada como $0/0$ . A menudo la aplicación es incorrecta. Incluso cuando funciona, no suele ser el método más fácil, y rara vez es el más esclarecedor. Se aprende mucho más pensando en simples desigualdades de orden de magnitud o en los primeros términos de las expansiones de la serie de Taylor.

Hay muchas respuestas en este sitio que lo ilustran. Aquí hay algunas; otros contestadores deberían sentirse libres de editar esta respuesta para enlazar con más.

lHopitales $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \; (\ln x)^{3 x} $ ?

Encontrar el límite de una función con exponente trigonométrico

Informática $\lim_{x\to0} \frac 8 {x^8} \left[ 1 - \cos\frac{x^2} 2 - \cos\frac{x^2}4 + \cos\frac{x^2}2\cos\frac{x^2}4 \right]$ sin usar L'Hospital

Encontrar el límite $\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x -x}{x^2}$

Answer 5

Las líneas horizontales de la imagen son $y = \pm \dfrac 12$ . Como puede ver, después de $P = 3$ en el $x$ eje, los valores de $f(x)$ están contenidos en el intervalo $\left(-\dfrac 12, \dfrac 12 \right)$ en el $y$ eje. En términos informales, la definición rigurosa de $\lim_{x \to \infty} \dfrac 1x = 0$ es simplemente la afirmación de que se puede hacer exactamente lo que hice anteriormente para cualquier línea horizontal $y = \pm \epsilon$ , pase lo que pase (positivo) $\epsilon$ tú eliges. Es decir, para cualquier número positivo $\epsilon$ siempre se puede encontrar algún punto $P$ en algún lugar de la $x$ tal que para cada $x$ más grande que $P$ , su $f(x)$ está en el intervalo $(-\epsilon, \epsilon)$ .