Cómo encontrar la característica del anillo cociente del polinomio.

Question

¿Cómo encontrar la característica si el grado de f(x) es n? $$\mathrm{char}\Bigl(\mathbb{Z}[x]/\langle f(x)\rangle\Bigr)$$

Answer 1

La característica de un anillo es el menor número de veces que se puede sumar $1$ a sí mismo y obtener 0. Si esto no ocurre nunca, se tiene un anillo de característica $0$ lo cual es cierto para $\mathbb Z[x]$ . Si $f(x)$ es un polinomio constante de grado $0$ , entonces se puede cambiar la característica del anillo cociente. Pero si no es así, el hecho de ir en módulo con un polinomio no cambia la característica del anillo.

Por ejemplo, si $\bar{1} + \ldots + \bar{1}=\bar{0}$ ( $p$ veces) en el anillo de cociente $\mathbb Z[x]/f$ , entonces esto significa que $1+(f) + \ldots + 1+(f)=p+(f)$ está en el ideal $(f)$ . Esto significa que $p+fg=fh$ es decir $p=f(g-h)$ lo que significa que $f$ debe ser una constante que divida $p$ .