Apócrifo teorema de Maschke?

Question

Esto puede ser totalmente trivial o mal. Solo estoy publicando esto porque estoy enfermo y cansado de tratar de entender esto y yo estoy seguro de que alguien de aquí sólo puede responder a ella de su cabeza en 2 minutos.

Deje $G$ ser un grupo finito, y $k$ un algebraicamente cerrado de campo, cuya característica no es un divisor de a $\left|G\right|$. El teorema de Maschke en su forma estándar a los estados que $$ \displaystyle k\left[G\right]\cong\bigoplus_{V\text{ irreductible }k\left[G\right]\text{-módulo}}\mathrm{End}V $$ como $k$-álgebras. Esta rapidez de los rendimientos que $$ \displaystyle k\left[G\right]\cong\bigoplus_{V\text{ irreductible }k\left[G\right]\text{-módulo}}\mathrm{End}V $$ a la izquierda $k\left[G\right]$-módulos, donde el $k\left[G\right]$-módulo de estructura en $\mathrm{End}V$ está dado por $\left(gF\right)\left(v\right)=gF\left(v\right)$ por cada $g\in k\left[G\right]$, $f\in\mathrm{End}V$ y $v\in V$.

Ahora, he escuchado que existe una forma más fuerte de este, indicando que $$ \displaystyle k\left[G\right]\cong\bigoplus_{V\text{ irreductible }k\left[G\right]\text{-módulo}}\mathrm{End}V $$ a la izquierda $k\left[G\times G\right]$-módulos, donde el $k\left[G\times G\right]$-módulo de estructura en $k\left[G\right]$ está definido por $\left(g,h\right)u=guh^{-1}$ para cualquier $g\in G$, $h\in G$ y $u\in k\left[G\right]$, y el $k\left[G\times G\right]$-módulo de estructura en $\mathrm{End}V$ está definido por $\left(g,h\right)F=gFh^{-1}$ para cualquier $g\in G$, $h\in G$ y $F\in \mathrm{End}V$. Esto se seguiría de $$ \displaystyle k\left[G\right]\cong\bigoplus_{V\text{ irreductible }k\left[G\right]\text{-módulo}}\mathrm{End}V $$ como $k$-álgebras de Hopf, donde el álgebra de Hopf de la estructura en $k\left[G\right]$ es el estándar ($S\left(g\right)=g^{-1}$ por cada $g\in G$), y el álgebra de Hopf de la estructura en $\mathrm{End}V$ es el estándar de uno.

[EDIT: como los comentarios explicado, no hay tal cosa como un estándar de álgebra de Hopf de la estructura en $\mathrm{End}V$, "$k$- álgebras de Hopf" debe ser "$k$-álgebras".]

Es esto correcto, y cómo puede ser probada?

Answer 1

El resultado sobre bimodules es cierto, y estándar. Aquí es una manera de ver.

Por Frobenius reciprocidad, $Hom_G(V,k[G]) = Hom_k(V,k)$, ya que el $k[G]$ es la inducción (o coinduction, según su terminología) de la representación trivial de lo trivial subgrupo de G en G.$

Desde Frobenius reciprocidad es functorial, se ve que este isomorfismo canónico es un isomorfismo de derecho $G$-representaciones, donde el origen tiene un derecho $G$-acción procedentes de la derecha $G$-acción en $k[G]$, y el destino tiene un derecho $G$-acción que viene como la transpuesta de la izquierda $G$-acción en $V$.

Ahora bien, si por Maschke del semisimplicity teorema, sabemos que $k[G] = \bigoplus_V V \otimes_k Hom_G(V,k[G])$, donde la suma es sobre todos, irreductible a la izquierda $G$-representaciones. (De hecho, Mashke demuestra que esto es cierto para toda la izquierda $G$-módulo en lugar de $k[G]$.) De nuevo, este es un isomorfismo natural, y así se respeta el derecho $G$-acciones en origen y el de destino.

Combinado con el cálculo anterior, nos encontramos con que $k[G] = \bigoplus_V V\otimes_k Hom_k(V,k) = \bigoplus_V End(V),$ como izquierda y derecha $G$-módulos, como se requiere.

[Modificar:] Leonid del comentario sobre las $k$ que necesitan ser lo suficientemente grande como en su respuesta a continuación es correcta. Cada simple $V$ viene equipado con un asociado de la división de álgebra de $G$-endomorphisms $A_V := End_G(V)$. La representación $V$ es absolutamente irreductible (he.e queda irred. después de pasar a cualquier campo de la extensión) si y sólo si $A_V = k$. Cuando consideramos la $Hom_k(V,W)$ para otro a la izquierda $G$-módulo de $W$, esto es, naturalmente, una $A_V$-módulo, y el teorema de Maschke dicen que $W = \bigoplus_V Hom_k(V,W)\otimes_{A_V} V$. (He escrito los factores en el producto tensor en este orden, porque el $V$ es, naturalmente, una a la izquierda $A_V$-módulo (si pensamos en endomorphisms que actúa sobre la izquierda) y, a continuación, $Hom_k(V,W)$ se convierte en un derecho $A_V$-módulo).

Así, en el caso de $W$ siendo el grupo de álgebra, tenemos $$k[G] = \bigoplus_V Hom_k(V,k)\otimes_{A_V} V$$ (un isomorfismo de $G$-bimodules).

Si todos los $V$ son absolutamente irreductible, por ejemplo, si $k$ es algebraicamente cerrado, a continuación, todos los $A_V$ igual $k$, y el precedente directo de la suma se reduce a lo que escribí anteriormente, y lo que estaba escrito en la pregunta.

Answer 2

1. La afirmación de que k[G] es isomorfo a la suma directa de Final(V) como una k-álgebra no es cierto para un campo arbitrario k de la característica de no dividir |G|. Algunas de las condiciones adicionales deben ser impuestas asegurar que k es lo suficientemente grande, por ejemplo, sería suficiente que k algebraicamente cerrado. E. g., para k ser el campo de los números reales y siendo G un grupo cíclico de orden mayor que 2 esto no es cierto.

2. La afirmación acerca de k[G×G]-modulo de isomorfismo de curso sigue de la afirmación acerca de k-álgebra de isomorfismo, como isomorfo a k-álgebras también son isomorfos bimodules sobre sí mismos. Uno también tiene que recordar de donde este isomorfismo de k-álgebras viene, es decir, que cada proyección de k[G] → End(V) proviene de la acción de G en V.

3. Como el álgebra de Hopf de la estructura de k[G], que se corresponde con el tensor de la estructura de categorías en la categoría de G-módulos, es decir, para recuperar lo que uno necesita saber cómo tensor de productos de representaciones irreducibles descomponer en directo sumas de representaciones irreducibles (no sólo las multiplicidades, pero la real de la descomposición).

Answer 3

El isomorfismo en todos los formularios que escribió el más evidente es el (enviar un elemento de kG para el endomorfismo induce sobre todo simples), por lo que sólo hay que darse cuenta que este mapa es un mapa es un mapa de bimodules.

No sé de qué estás hablando, con respecto a las álgebras de Hopf. No hay ninguna álgebra de Hopf de la estructura en $\mathrm{End} V$. Parece que acaba de decir "álgebra equipado con un anti-involución", pero incluso eso no tiene ningún sentido, ya que sólo tiene sentido pensar que adjunto como un antiendomorphism de $\mathrm{End} V$ si usted ha elegido un isomorfismo de $V$ y su doble.

En una nota de lado: el otro ms responden razón en que si no todas las representaciones irreducibles de $G$ son definidos sobre los $k$, el mapa no es surjective si uno interpreta $\mathrm{End}(V)$$\mathrm{End}_k(V)$. Si uno adopta endomorphisms que conmuta con endomorphisms de la representación (lo que Matt Emerton denota $A_V$), la declaración puede ser guardado: el mapa de $kG\cong \oplus \mathrm{End}_{A_V}(V)$, ya que cualquier semi-simple álgebra es igual a su propio doble conmutador en cualquier representación fiel.

Answer 4

Me gustaría tienden a adoptar la perspectiva de que la imposición de la declarada estructura de (a la izquierda) $k[G \times G]$-módulo de $k[G]$ naturalmente, impone una $k[G \times G]$-estructura del módulo en cada una de las ${\rm End}_{k}(V).$ Mientras ${\rm char}(k)$ no es un divisor de a $|G|$, sabemos que $k[G]$ es semisimple $k$-álgebra. Por otro lado, sabemos que $k[G]$ es completamente reducible $k[G \times G]$-módulo con el de la acción. El simple sumandos como $k[G \times G]$ módulo son mutuamente aniquilando a un mínimo de dos caras ideales de $k[G]$, por lo que cada uno es un simple $k$-álgebra en su propio derecho. En el caso de que $k$ es algebraicamente cerrado, cada una de estas álgebras simples que tiene la forma de ${\rm End}_{k}(V)$ simple $k[G]$-módulo de $V.$ En general, (al $k$ no es necesariamente algebraicamente cerrado),cada una simple álgebra tiene la forma $M_{d}({\rm End}_{kG}(V))$ para algunos entero $d$ y algunos simples $kG$-módulo de $V$ (recordemos que ${\rm End}_{kG}(V)$ $k$- división de álgebra por Schur del Lema).