Demostrando trigonométricas problema de ecuaciones trigonométricas

Question

Si $p$ & $q$ son las soluciones de $$a \cos x + b \sin x = c$$

Entonces, ¿cómo puedo demostrar que, $$\cos (p + q) = \dfrac{a^2-b^2}{a^2 + b^2} $$

He probado todos los ajustes que podía pensar, como dividir por $ \cos x $ y la extracción de $a$ $b$ a partir de las 2 ecuaciones. También trató de sumar/restar y todos los elementos básicos sé que fue en vano.

Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias :)

Answer 1

Tenemos

$$c-a\cos x=b\sin x$$ y elevando al cuadrado y reescritura,

$$c^2-2ac\cos x+a^2\cos^2x=b^2(1-\cos^2x),$$ $$(a^2+b^2)\cos^2x-2ac\cos x+c^2-b^2=0.$$

El uso de la Vieta de las fórmulas, el producto de las raíces es

$$\cos p\cos q=\frac{c^2-b^2}{a^2+b^2}.$$ Repitiendo el mismo razonamiento simétricamente,

$$\sin p\sin q=\frac{c^2-a^2}{a^2+b^2}.$$

Ahora, resta,

$$\cos(p+q)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}.$$

Answer 2

Y'all no se preocupe! Me lo imaginé – (por un golpe de suerte?), Sólo quiero a alguien para confirmar que esta es la derecha :)

Convertirlo a la pregunta original en mi libro de texto. Deje $p= \alpha$ $q = \beta$

$\alpha$ $\beta$ son soluciones de $a\cos\theta+b\sin\theta=c$

$$a\cos\alpha+b\sin\alpha=c=a\cos\beta+b\sin\beta $$

$$b(\sin\alpha-\sin\beta)=-a(\cos\alpha-\cos\beta)$$

$$ 2b\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=2a\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$

$$\frac{b}{a}=\frac{\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}=\tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) $$

$$ \tan^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{b^2}{a^2}$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{\cos^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}$$

Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ , obtenemos,

$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{1-\tan^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{1-\frac{b^2}{a^2}}{1+\frac{b^2}{a^2}}$$

$$\Rightarrow\qquad \cos(\alpha+\beta)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$$

Gracias a todos por sus esfuerzos :-)

Answer 3

Dado $$ a\cos x + b\sen x = c $$ poner $$ A = \sqrt {a^{\,2} + b^{\,2} } \quad \phi = \arctan \left( {{b \a través de una}} \right) $$ para obtener $$ \eqalign{ & c = a\cos x + b\sin x = a\cos \phi \cos x + \sin \phi \sen x = \cr Y = A\cos \left( {x - \phi } \right) = \cos \left( {p - \phi } \right) = \cos \left( {q - \phi } \right) \cr} $$ de la que se obtiene $$ A\cos \left( {p - \phi } \right) = \cos \left( {q - \phi } \right)\quad \Rightarrow \quad p - \phi = - \left( {q - \phi } \right)\quad \Rightarrow \quad p + q = 2\phi $$ (aparte de los múltiplos de $2\pi$).

El resto debe hacer fácilmente por ti mismo, supongo.