Defina el espacio de lentes L(m,n) como el cociente de S 2m+1 por la acción del grupo cíclico ℤ n ⊂S 1 ⊂ℂ*. Podemos crear el espacio lente infinito L(∞,n) mediante una construcción telescópica sobre los espacios lente L(m,n) para n fijo, que tiene como espacio de cobertura n-sheeted S ∞ . La secuencia exacta de homotopía es entonces
... --> π 1 (S ∞ ) --> π 1 (L(∞,n)) --> π 0 (n puntos) --> π 0 (S ∞ ) --> ...
Aquí, π 1 (S ∞ ) es el grupo trivial, y π 0 (S ∞ ) es un conjunto con un punto. La secuencia sigue siendo exacta en el punto π 0 porción, una vez que especificamos un punto base para cada conjunto y llamamos a su preimagen el núcleo del mapa, lo que significa que cualquier π 1 (L(∞,n)) es, definitivamente tiene n elementos. También es un grupo, así que si n es primo entonces no tenemos más remedio que concluir que π 1 (L(∞,n))=ℤ n . Por supuesto, incluso cuando n no es primo, el hecho es que esta afirmación sigue siendo cierta.
Pero esto me inquieta un poco. Parece que sólo estamos concluyendo que porque el grupo de cubierta de la cubierta universal pasa a ser ℤ n (o, admitiendo todo el alcance de nuestra complicidad, porque estamos muy cerca de tomar como definición que L(∞,n)=S ∞ /ℤ n ). Si no estamos trabajando con la cubierta universal, entonces π 1 de la cubierta no es trivial, así que incluso si la cubierta está conectada parece que podríamos encontrarnos con el problema de la extensión al intentar calcular π 1 de la base. Por supuesto, todo esto es algebraico; quizás haya algo geométrico que salve el día y nos diga cómo interpretar esto. ¿Es ese el caso, o hay alguna otra forma de determinar sin ambigüedades π 1 de la base aquí (quizás por la definición del homomorfismo de conexión a través de la propiedad de homotopía de cobertura)?
