Cómo evaluar $\sum_{n=1}^{38}\sin\left(\frac{n^8\pi}{38}\right)$

Question

Evaluar $$\sum_{n=1}^{38}\sin\left(\frac{n^8\pi}{38}\right)$$

He encontrado el problema en esta página.

No tengo idea de cómo hacerlo. Muchas gracias.

Answer 1

Tenemos: $$\sum_{n=1}^{38}\sin\left(\frac{n^8 \pi}{38}\right) = \sum_{k=0}^{18}\sin\left((2k+1)^8 \frac{2\pi}{4\cdot 19}\right)+\sum_{k=0}^{18}\sin\left(2^6 k^8 \frac{2\pi}{19}\right),$$ donde el primer sumando se desvanece debido a $-2$ es un cuarto poder,$\pmod{19}$, ya que el $5^4+2\equiv0\pmod{19}$, mientras que la segunda suma es sólo la parte imaginaria de una suma de Gauss: $$\sum_{k=0}^{18}\sin\left(2^6 k^8\frac{2\pi}{19}\right)=\Im\sum_{m=0}^{18}\left(\frac{m}{q}\right)\exp\left(7\cdot\frac{2\pi i m}{19}\right)=\sqrt{19}$$ debido a la octava potencias $\pmod{19}$ son sólo los residuos cuadráticos.

Answer 2

De nuevo no es una solución, pero he notado que

$$ \left( \sum_{n=1}^{14} n^8 \mod (2 \times 14) \right) \mod (2 \times 14) = 7,\\ \sum_{n=1}^{14} \sin \left( \frac{\pi n^8}{14} \right) = \sqrt{7}. $$

$$ \left( \sum_{n=1}^{22} n^8 \mod (2 \times 22) \right) \mod (2 \times 22) = 11,\\ \sum_{n=1}^{22} \sin \left( \frac{\pi n^8}{22} \right) = \sqrt{11}. $$

$$ \left( \sum_{n=1}^{38} n^8 \mod (2 \times 38 ) \right) \mod (2 \times 38) = 19,\\ \sum_{n=1}^{38} \sin \left( \frac{\pi n^8}{38} \right) = \sqrt{19}. $$

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Y otras cosas extrañas:

$$ \left( \sum_{n=1}^{10} n^2 \mod (2 \times 10) \right) \mod (2 \times 10) = 5,\\ \sum_{n=1}^{10} \sin \left( \frac{\pi n^2}{10} \right) = \sqrt{5}. $$

$$ \left( \sum_{n=1}^{14} n^2 \mod (2 \times 14) \right) \mod (2 \times 14) = 5,\\ \sum_{n=1}^{14} \sin \left( \frac{\pi n^2}{14} \right) = \sqrt{7}. $$

$$ \left( \sum_{n=1}^{22} n^2 \mod (2 \times 22) \right) \mod (2 \times 22) = 11,\\ \sum_{n=1}^{22} \sin \left( \frac{\pi n^2}{22} \right) = \sqrt{11}. $$

$$ \left( \sum_{n=1}^{26} n^2 \mod (2 \times 26) \right) \mod (2 \times 26) = 13,\\ \sum_{n=1}^{26} \sin \left( \frac{\pi n^2}{26} \right) = \sqrt{13}. $$

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Vamos a escribir

$$ Q(p,q) = \left( \sum_{n=1}^{2} n^q \mod (4p) \right) \mod (4p),\\ S(p,q) = \sum_{n=1}^{2} \sin \left( \frac{\pi n^p}{2} \right). $$

Entonces nos encontramos con la

$$ \begin{array}{cccc} p & q & Q(p,q) & S(p,q)\\ \hline 5 & 2 & 5 & \sqrt{5}\\ 7 & 2 & 7 & \sqrt{7}\\ 11 & 2 & 11 & \sqrt{11}\\ 13 & 2 & 13 & \sqrt{13}\\ 17 & 2 & 17 & \sqrt{17}\\ 19 & 2 & 19 & \sqrt{19}\\ 23 & 2 & \color{red}{21} & \sqrt{23}\\ \hline 7 & 4 & 7 & \sqrt{7}\\ 11 & 4 & 11 & \sqrt{11}\\ 38 & 4 & 19 & \sqrt{19}\\ \hline 7 & 8 & 7 & \sqrt{7}\\ 11 & 8 & 11 & \sqrt{11}\\ 38 & 8 & 19 & \sqrt{19}\\ \end{array} $$

Espero que esto da una idea para los demás...

Answer 3

No es una solución, pero creo que esta es la dirección a investigar. En primer lugar, vamos a considerar que en lugar de la suma de exponenciales complejas (por lo que esta suma será la parte imaginaria). A continuación, Mathematica da la suma $$\sum_{n=1}^{38} \exp\left(\frac{i\pi n^8}{38}\right)=\sqrt{19}(1+i).$$ (As noted in comments, the same holds true if $38$ es sustituido por algún otro incluso enteros...pero no está claro cuáles son.)

Esto sugiere que hay algo más genérico resultado de lo que deberíamos estar buscando. Para este enfoque, tenga en cuenta que para cada octava potencia se puede escribir $n^8=76k+r$ para algunos enteros $k,r$$r\in[0,76)$. Entonces $$ \exp\left(\frac{i \pi n^8}{38}\right)=\exp\left(2\pi k i+\frac{2\pi i r}{38}\right)=\exp\left(\frac{i\pi r}{38}\right)$$ que es un 76th raíz de la unidad.

Por tanto, creo que, en parte, a la necesidad número teórico de resultados: ¿Qué se puede decir acerca de la $n^8$$n\in \mathbb{Z}/76\mathbb{Z}$?