Si un grupo finito tiene todos los $p$-complementos, siempre es solucionable?

Question

En la lectura de la pregunta Subgrupos de Primer Índice de Poder , inmediatamente pensé "si el grupo tenía un $p$-complemento para cada uno de los prime $p$, entonces sería solucionable".

Pero luego me di cuenta de que el argumento tenía la mitad estructurado en mi cabeza no era realmente correcto, y yo no era capaz de salvar.
Mi idea básica era que parece que uno se podría aplicar el Hall del criterio de solvencia por tomar las adecuadas intersecciones de $p$-complementos para conseguir el deseado Salón-subgrupos. Pero en mayor consideración, no es tan claro por qué esto debería funcionar.

Otra idea fue hacer lo mismo mientras miraba un mínimo de contraejemplo, pero no estaba claro para mí por qué los $p$-complementa deben satisfacer las condiciones (y, por tanto, la minimality no era mucho uso).

Answer 1

Creo que tu idea es correcta, debe ser una cuestión de usar el lema que dice que si los índices de los subgrupos $A, B$ $G$ son coprime, entonces $$ \lvert G: \cap B \rvert = \lvert G: \rvert \cdot \lvert G : B \rvert. $$

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Vamos a demostrar el lema, digamos en el caso de $G$ es finito, pero usted sólo necesita dos índices que ser finito.

Tenemos que $\lvert G : A \rvert$ divide $\lvert G : A \cap B \rvert = \lvert G : A \rvert \cdot \lvert A : A \cap B \rvert$, y lo mismo para $\lvert G : B \rvert$. Puesto que los dos índices son coprime, tenemos que su producto $\lvert G : A \rvert \cdot \lvert G : B \rvert$ divide $\lvert G : A \cap B \rvert$.

Pero también tenemos $$ \lvert G: \cap B \rvert = \lvert G: \rvert \cdot \lvert Una : A \cap B \rvert = \lvert G: \rvert \cdot \lvert a B : B \rvert \le \lvert G: \rvert \cdot \lvert G : B \rvert. $$ Aquí he utilizado el hecho de que $\lvert A B : B \rvert = \lvert A : A \cap B \rvert$, esto es, bajo ningún supuesto de normalidad, hay un bijection entre los cosets de $B$ $AB = \{ab :a \in A, b \in B\}$ y el cosets de $A \cap B$$A$. La correspondencia está dada por $a B \mapsto a (A \cap B)$.

Esto es, básicamente, como en Huppert del Endliche Gruppen I, I. 2.12 y I. 2.13 (1967 Ed.).

Answer 2

Aquí es una prueba utilizando el lema proporcionada por Andreas Caranti en su respuesta.

Suponga que $G$ no es solucionable finito grupo que tiene un $p$-complemento para cualquier prime $p$ y asumir que $G$ es mínima con esta propiedad.

Deje $p$ $q$ ser distintos de los números primos y deje $P$ $Q$ $p$ - y un $q$-complemento en $G$ respectivamente. Por el lema, $P$ $q$- complemento (es decir,$P\cap Q$), y ya que este fue para la arbitrarias $p$$q$, esto demuestra que cualquier $p$-complemento en $G$ sí ha $q$-complementos para todos los números primos $q$, y, por tanto, que todos estos son resolubles por minimality de $G$.

Deje $\pi$ ser un conjunto de números primos. Queremos mostrar que $G$ $\pi$- Sala de subgrupo.
Deje $p$ principal no en $\pi$, pero en los que se divide $|G|$ (podemos suponer un primer existe o $\pi$-Hall subgrupo acaba de ser $G$). Ahora $G$ $p$- complementar $P$, cuyo fin es divisible por todos los números primos en $\pi$, y dado que es solucionable, tiene un $\pi$-Hall subgrupo, que es $\pi$-Hall subgrupo de $G$.
Ahora $G$ es solucionable por la Sala el criterio de tener $\pi$-Sala de subgrupos para todos los conjuntos de números primos $\pi$).