Mínimo de la integral

Question

Deje $S$ ser el conjunto de todos los integrable en $[0,1]$ tal que $$\int\limits_0^1f(x)dx=\int\limits_0^1xf(x)dx+1=3.$$ Demostrar que $S$ es infinito y evaluar $$\min\limits_{f\in S}\int\limits_0^1f^2(x)dx.$$

Answer 1

Tenemos $3 = \int_0^1 f(x) \cdot \left(x +\frac{1}{3} \right) \, dx$. Vamos a usar de Cauchy–Schwarz desigualdad:

$$3 = \int_0^1 f(x) \cdot \left(x +\frac{1}{3} \right) \, dx \le \sqrt{ \int_0^1 f^2(x) \, dx} \sqrt{\int_0^1 \left(x +\frac{1}{3} \right)^2 dx} = \sqrt{\frac{7}{9}} \sqrt{ \int_0^1 f^2(x) \, dx}$$ Por lo tanto: $$\int_0^1 f^2(x) \, dx \ge \left( \frac{9 \cdot 3}{\sqrt{7}} \right)^2 = \frac{81}{7} \approx 11.57$$

Editar

$$2 = \int_0^1 x f(x) \, dx \le \sqrt{ \int_0^1 f^2(x) \, dx} \sqrt{\int_0^1 x^2 dx} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{ \int_0^1 f^2(x) \, dx}$$ Así: $$\int_0^1 f^2(x) \, dx \ge 12 $$ Y la igualdad ocurre si $f(x) = 6x$

Answer 2

Asumiendo $f\in L^1([0,1])\cap L^2([0,1])$, podemos tomar una expansión de $f$ en términos de la cambió polinomios de Legendre: $$ f(x) = a_0+\sum_{n\geq 1} c_n P_n(2x-1).\tag{1} $$ Desde este conjunto de polinomios es una base ortogonal de $L^2([0,1])$: $$ \int_{0}^{1} P_n(2x-1) P_m(2x-1)\,dx = \frac{\delta_{m,n}}{2n+1}\tag{2} $$ y $P_0(2x-1)=1,P_1(2x-1)=2x-1$, las restricciones se traducen en: $$ a_0 = \int_{0}^{1}f(x)\,dx = 3, $$ $$ a_1 = 3\int_{0}^{1}(2x-1)f(x)\,dx = -9+6\int_{0}^{1}x\,f(x)\,dx =3.\tag{3}$$ Así tenemos que para cualquier función de la forma $$ f(x) = 6x + \sum_{n\geq 2}c_n P_n(2x-1) $$ satisface las restricciones dadas, y: $$ \int_{0}^{1}f(x)^2\,dx = a_0^2+\sum_{n\geq 1}\frac{c_n^2}{2n+1} \geq a_0^2+\frac{a_1^2}{3},\tag{4}$$ así que el mínimo para la LHS, $12$, es alcanzado por $f(x)=6x$.

Answer 3

Mirando el polinomio $ax^{n+1}+bx^n$, a partir de las ecuaciones podemos derivar que los coeficientes de satisfacer dos ecuaciones lineales, generando el siguiente sistema:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{n+2} & \frac{1}{n+1} \\\frac{1}{n+3} & \frac{1}{n+2}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$

El determinante, $\frac{-1}{(n+1)(n+2)^2(n+3)}$, es distinto de cero para todos los $n \in \mathbb{N}$, por lo que directamente hemos encontrado infinito polinomio de soluciones. Por supuesto, esto no es para decir que estas son todas las soluciones, por lo que no necesariamente ayudan a evaluar la mínima (o incluso probar que existe uno).

Answer 4

Una sugerencia: Para cualquier función dada $g:\ [0,1]\to{\mathbb R}$ hay un $f$ de la forma $$f(x):=a + b x + g(x)$$ que cumple las condiciones dadas. Esto ya demuestra la primera parte. Además, cualquier $f$ el cumplimiento de las condiciones dadas puede ser escrita en la forma anterior con ciertas $a$, $b$ y $$\int g(x)\ dx=0,\qquad \int_0^1 x\,g(x)\ dx=0\ .$$ El uso de este para resolver el mínimo problema.