He leído un ensayo sobre los números primos. En él, el autor sugiere que una primera pregunta natural que hay que hacerse es,
¿Cuál es la probabilidad de que un número natural aleatorio sea primo?
pero procede a descartarla por "no tener sentido". Me pregunto qué hay de malo en la pregunta. ¿Su falta de sentido está relacionada con el hecho de que hay un número infinito de naturales?
No hay una distribución aleatoria uniforme en los números naturales, por lo que el problema está en la frase "número natural al azar". No se puede, por ejemplo, "elegir un número natural al azar", hecho que se puede ilustrar con el siguiente experimento mental: ¿Cuántas cifras debería tener un número natural elegido al azar?
Por otro lado, podemos ver la cuestión de forma asintótica: Si $\pi(x)$ es el número de números primos menores que $x$ podemos estudiar la relación $$\frac{\pi(x)}{x}$$ como $x$ se hace grande. Para el teorema del número primo , $$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x} \ln(x) = 1,$$ por lo que desde $\ln(x)$ es ilimitado, el porcentaje de números menores que $x$ que son primos se hace arbitrariamente pequeño como $x$ se vuelve arbitrariamente grande. En el sentido asintótico, entonces, la "probabilidad de que un número natural sea primo" es cero, porque $$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x} = 0.$$
Edición: Permítanme elaborar un poco sobre por qué no hay una distribución aleatoria uniforme en $\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\N$ (o en cualquier conjunto contablemente infinito, para el caso). Para hablar de probabilidad, debemos tener un medir es decir, una función $\mu$ enviando subconjuntos "agradables" de $\N$ a $[0, +\infty]$ . (Lo que constituye un subconjunto "agradable" es un detalle técnico que realmente no importa aquí; en realidad, como ocurre con los espacios topológicos y los conjuntos abiertos, qué conjuntos son medibles forma parte de los datos del espacio de medida).
El principal axioma para las medidas es que son contablemente aditivo es decir, aditivo sobre colecciones de conjuntos contables infinitos y disjuntos por pares. Por lo tanto, si $A_0, A_1, A_2, A_3, \ldots$ es una colección de subconjuntos medibles tal que $A_i \cap A_j = \emptyset$ siempre que $i \neq j$ entonces $$\mu\left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) = \sum_{i \in \N} \mu(A_i).$$ Si intentamos definir un uniforme medida en $\N$ , dejemos que $A_i = \{i\}$ . Como la medida es uniforme, debemos tener $\mu(\{i\}) = \mu(\{j\})$ para todos $i, j \in \N$ . Así que por aditividad contable, $$\mu(\N) = \mu\left( \bigcup_{i \in \N} \{i\} \right) = \sum_{i \in \N} \mu(\{i\}) = \sum_{i \in \N} \mu(\{0\}).$$ Si $\mu(\{0\}) = 0$ entonces $\mu(\N) = 0$ Así que $\mu$ asigna un cero a cada conjunto. Si $\mu(\{0\}) > 0$ entonces $\mu(\N) = +\infty$ . Pero una medida de probabilidad es, por definición, una medida tal que todo el espacio tiene medida 1. Por lo tanto, no hay ninguna medida de probabilidad uniforme en $\N$ .
Por otro lado, a menudo podemos definir medidas de probabilidad uniformes sobre incontablemente conjuntos infinitos sin ningún problema. Por ejemplo, el Medida de Lebesgue en $[0, 1]$ se define de manera que $\mu([a, b]) = b - a$ para cualquier $0 \leq a < b \leq 1$ . La razón por la que esto funciona es que las medidas no tienen que ser incontablemente aditivas, sólo contablemente aditivas.
El principal problema de la pregunta es que la densidad de los primos disminuye sobre subconjuntos de intervalos de límite superior crecientes de $\mathbb N$ . De hecho, tomar la densidad de los primos sobre todo el conjunto de números naturales se evalúa a cero, por lo que la probabilidad sería técnicamente cero. Sí tiene sentido decir, para un determinado $n\in \mathbb N$ ¿Cuál es la probabilidad de que un número $q\in [1,n]$ ¿es primo? Y entonces la pregunta tiene una respuesta exacta y no nula como el cociente de los primos menores o iguales a $n$ ( $\pi(n)$ ) en comparación con $n$ : $\pi(n)\over n$ .
Como en las otras respuestas, efectivamente, hay dificultad para definir las probabilidades en subconjuntos algo dispersos de conjuntos infinitos.
Sin embargo, en la práctica, hay una versión de esta pregunta que tiene cierta sustancia, a saber, preguntar la "probabilidad" de que un número elegido "cerca" de un número entero grande dado $N$ es primo, dando una respuesta que depende de $N$ . El teorema de los números primos dice esencialmente que la "densidad" de los primos "cerca" $N$ es $1/\log N$ por lo que una noción heurística de esta probabilidad es $1/\log N$ .
Hacer que esto sea algo más que una heurística no es tan difícil, utilizando el teorema de los números primos, pero, por supuesto, también se puede convertir en algo sin sentido si se desea, dependiendo de lo escéptico que se quiera ser sobre las probabilidades en tales situaciones.
Hay un sentido en el que la probabilidad de que un número natural aleatorio sea primo se aproxima a $\frac{1}{log N}$ Como Pablo y Daniel llegan a, y sujeto a la elegante exposición de Daniel de la cuestión de la medida.
Merece la pena tener en cuenta que, durante la mayor parte del siglo XX, muchos matemáticos (y, en particular, los estadísticos) se han cargado con una definición muy limitada de la probabilidad: que representaba la frecuencia de un suceso en una serie suficientemente larga de ensayos idénticos e independientes.
Con esta definición, no tiene sentido preguntarse si un específico Un número natural aleatorio es primo o no: o lo es (probabilidad=1) o no lo es (probabilidad=0); y hasta que no se comprueba, no se sabe si está en el primer estado o en el segundo. Cada vez que compruebe ese número concreto, obtendrá siempre la misma respuesta. Así que la estimación de $\frac{1}{log N}$ no tiene sentido (como tampoco lo tiene cualquier otra estimación, aunque si eliges 0, acertarás la mayoría de las veces), utilizando esa definición de probabilidad.
Existe una definición más amplia y útil de probabilidad: una que es un superconjunto de la definición anterior. Y es que es la cuantificación de nuestra creencia razonada de que un evento específico ocurrirá. Según esta definición, $\frac{1}{log N}$ es una estimación significativa y puede ser útil.
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