Dos definiciones de la imagen teórica de Scheme

Question

Supongamos que $fX \to Y $ es un morfismo. He visto dos definiciones de imagen esquemática.

El primero requiere $f$ sea cuasi-compacto y cuasi-separado, o cuasi-compacto, lo que garantiza que el núcleo $J=O_Y\to f_*(O_X)$ ser cuasi coherente. Así $J$ define un subesquema cerrado de Y.

La segunda no requiere nada, se define por la gavilla cuasi-coherente $\sum J_W$ donde $J$ es el ideal definitorio de $W$ y $W$ recorre todos los subesquemas cerrados $W$ que $f$ factores mediante.

¿Cuál es la diferencia?

Answer 1

Como ha señalado Martin, cualquier definición de imagen esquemático-teórica será compatible con la segunda definición que das.

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La cuestión es que, en ausencia de alguna (¡leve!) suposición sobre $f$ es imposible demostrar nada sobre la imagen esquemática; en particular, es imposible demostrar (ya que no será cierto en general) que es local en la base (es decir, que para un subconjunto abierto $U$ de $Y$ la sch.th.im. se cruza con $U$ coincide con la sch.th.im. de $f_{|f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U$ .

Así que la gente normalmente sólo habla de sch.th.im. cuando $f$ satisface una hipótesis (como la cuasicompacidad) que permite verificar esta propiedad.