Considere la posibilidad de $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, la proporción áurea. Abajo son de la serie $(3)$ $(6)$ que representan a $\varphi$ $$ \begin{align*} \varphi &=\frac{1}{1}+\sum_{k=0}^{\infty}\cdots&(1)\\ \varphi &=\frac{2}{1}+\sum_{k=0}^{\infty}\cdots&(2)\\ \varphi &=\frac{3}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(2k)!}{(k+1)!k!2^{4k+3}}&(3)\\ \varphi &=\frac{5}{3}+\sum_{k=0}^{\infty}\cdots&(4)\\ \varphi &=\frac{8}{5}+\sum_{k=0}^{\infty}\cdots&(5)\\ \varphi &=\frac{13}{8}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{(2(k+1))!}{((k+1)+1)!(k+1)!2^{4k+7}}&(6)\\ \vdots&\\ \end{align*} $$
Cuando se mira en el líder en términos de $(3)$ y $(6)$ $\;\frac{3}{2}$ y $\frac{13}{8}$ respectivamente, uno está tentado a pensar que hay otras fórmulas similares para llenar los agujeros en la tabla anterior.
Me gustaría saber si la familia de fórmulas que existen.
Gracias.
EDITAR: Tenga en cuenta que ambas fórmulas conectar la Proporción áurea $\varphi$ a los Números de catalán $$ C_{k}=\frac{(2k)!}{(k+1)!k!} $$ así, por $(3)$ hemos $$ \varphi =\frac{3}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{C_{k}}{2^{4k+3}} $$ y para $(6)$ hemos $$ \varphi =\frac{13}{8}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{C_{k+1}}{2^{4k+7}} $$ Así que, tal vez esto podría ser utilizado, de alguna manera, para encontrar otras fórmulas.
