Por qué la mayoría de las continuas transformaciones se basan integral de la operadora?

Question

Tengo curiosidad acerca de por qué la mayoría de las continuas transformaciones, por ejemplo, la transformada de fourier/ Laplace se basan integral de la operadora?

O,

En otras palabras, ¿por qué integral operador ofrece el "mejor" de la correlación entre dos funciones?

Gracias

Answer 1

Desde el punto de Análisis Funcional, consideramos que el operador del espacio(o el dominio y rango). Tomando la transformada de Fourier como ejemplo, podemos ver como este: $T:C(R^n)\rightarrow{C(R^n)}$ o $T:L^2(R^n)\rightarrow{L^2(R^n)}$. Así que ampliar el espacio(o el dominio y rango) a través de la Integral de Lebesgue y vamos a encontrar más hermosa y suave en $L^2(R^n)$$C(R^n)$. En realidad, podemos hacer una más grande(o más adecuado) espacio(o el dominio y rango) mediante el uso integral del operador.

También podemos ver esta cuestión de la Teoría de la Representación. Si miramos esta pregunta cuidadosamente, veremos que la $T:L^2(R^n)\rightarrow{L^2(R^n)}$ es una transformación de un espacio en su espacio dual. Es una manera de que el estudio de un espacio mediante el estudio de su espacio dual. Así que podemos ver a esta pregunta a partir de la Teoría de la Representación:
(1)La Transformada De Fourier: $T:L^2(R^n)\rightarrow{L^2(R^n)}$. Es una Teoría de la Representación sobre grupo $(R^n,+)$.
(2)la transformada de Fourier de la Serie: se trata de la transformación de las funciones de período de serie y conversar. En primer lugar, podemos ver que el período de funciones se define en $R^n/Z^n$ o $n$ dimensiones torus $T^n$, lo que es todavía un grupo de verse como el producto $S$. Segundo, la serie se puede ver una función definida en el grupo $Z^n$. Así que transformar es$T:L^2(T^n)\rightarrow{L^2(Z^n)}$$T:L^2(Z^n)\rightarrow{L^2(T^n)}$. Es una Representación de la Teoría acerca de la $T^n$$Z^n$. Desde arriba, sabemos que la integral operador puede estar relacionado con la Topológico Grupo de Teoría de la Representación y para ello se utilizan algunos integral o, precisamente, la Medida de Haar.

El libro acerca de esto: "Un Primer Curso en Análisis Armónico" #http://en.bookfi.org/book/443200#