Ejemplo de extensión de Galois cuyo grupo de Galois es $A_4$

Question

¿Puede alguien darme un ejemplo de una extensión de Galois finita cuyo grupo de Galois sea $A_4$ ?

Answer 1

Los enlaces de lhf en los comentarios dan buenos ejemplos sobre el campo base de $\mathbb{Q}$ . Si estás dispuesto a aceptar un campo base ligeramente mayor (tu pregunta no especifica ninguno), puedes obtener toda una serie de ejemplos con muy poco trabajo.

Es decir, tomemos un polinomio cuártico aleatorio $f$ con, digamos, discriminante $\Delta$ . Con una probabilidad muy alta (en realidad, esencialmente del 100%, en un sentido que pueda precisarse), su campo de desdoblamiento $K$ tiene grupo de Galois $S_4$ en $\mathbb{Q}$ . Ahora bien $\sqrt{\Delta}$ es el producto de las diferencias de las raíces de $f$ vive en $K$ y así siempre que $\Delta$ no es un cuadrado perfecto, $\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})$ es una extensión cuadrática de $\mathbb{Q}$ contenida en $K$ . Pero ahora $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta}))$ es un subgrupo de índice 2 de $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong S_4$ cuyo único ejemplo es $A_4$ .

Por tanto, concluimos que $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta}))\cong A_4$ para casi todos los polinomios cuárticos con discriminante no cuadrado.