¿Puede ser negativa la raíz cuadrada de un número real?

Question

¿Puede la raíz cuadrada de un número real ser negativa?

Al tratar las cuestiones de funciones en clase once, mi profesor de matemáticas dice que la raíz cuadrada de un número real siempre es positiva. ¿Cómo es posible?

Answer 1

Dado un número real positivo $a$, hay dos soluciones a la ecuación $x^2 = a$, una es positiva y la otra es negativa. Denotamos la raíz positiva (a la que a menudo llamamos raíz cuadrada) por $\sqrt{a}$. La solución negativa de $x^2 = a$ es $-\sqrt{a}$ (sabemos que si $x$ satisface $x^2 = a$, entonces $(-x)^2 = x^2 = a$, por lo tanto, porque $\sqrt{a}$ es una solución, también lo es $-\sqrt{a}$). Por lo tanto, para $a > 0$, $\sqrt{a} > 0$, pero hay dos soluciones a la ecuación $x^2 = a$, una positiva ($\sqrt{a}$) y una negativa ($-\sqrt{a}$). Para $a = 0$, las dos soluciones coinciden con $\sqrt{0} = 0.

Answer 2

Es solo una cuestión notacional. Por convención, para $x$ positivo (real claramente), $\sqrt{x}$ denota la raíz cuadrada positiva del número real $x$. Del mismo modo acordamos por convención notacional que $-\sqrt{x}$ es la raíz cuadrada negativa de $x. Por supuesto, cada número real positivo,$x$, tiene dos raíces cuadradas,$\sqrt{x}$y$-\sqrt{x} $ , números reales positivos y negativos respectivamente.

A veces me preocupa lo que se enseña en matemáticas en la escuela secundaria estos días.

Answer 3

Creo que tu confusión proviene de asumir que si $a^2 = b$ entonces $\sqrt{b} =a$, pero en realidad este no es el caso. La forma correcta de esto sería $\sqrt{b} = \vert a \vert$. Debido a esto, $a^2 = b = (-a)^2$ sin embargo $\sqrt{b} = \vert a \vert \neq -\vert a \vert$. Esto se puede demostrar por contradicción:

Si dijéramos que $a=\sqrt{b}=-a$, eso implicaría que $a = -a$, y por ejemplo $1= \sqrt{1} = -1 \implies 1=-1$ lo cual sabemos que es falso. Esta contradicción no ocurre cuando decimos $a^2 = b = (-a)^2 \implies a^2 = (-a)^2$, porque, si usamos el mismo ejemplo, obtendríamos $1^2 = 1 = (-1)^2 \implies 1^2 = (-1)^2 \implies 1 = 1$, lo cual es verdadero (ya que por definición, cualquier número al cuadrado debe ser positivo). Por eso, al evaluar $a^2 = b$, obtendrías dos posibles soluciones para $a$ (una positiva y una negativa). Sin embargo, al evaluar la ecuación $a = \sqrt{b}$, $a$ solo puede tener una solución en un momento dado, y por convención, se definió que una raíz cuadrada siempre es positiva. Esta es una distinción importante porque nos permite mirar la ecuación $4=a^2$ y encontrar que $a=2\oplus a=-2$, evitando así la contradicción $a=2 \wedge a=-2 \implies 2=-2$ al decir $2^2=4=2^2 \implies 2 = 2 \oplus (-2)^2=4=(-2)^2 \implies -2=-2$. Esta idea puede parecer perderse al graficar ecuaciones como un círculo. La ecuación $x^2 + y^2 = 1$ parece tener 2 valores de $y$ por cada $x$, y 2 valores de $x$ por cada $y$. Esto se puede entender mejor al mirar la ecuación paramétrica para un círculo: $x=cos(t); y=sin(t)$. Para cualquier valor dado de $t$, solo hay un valor correspondiente de $x$, y solo hay un valor correspondiente de $y$. Si se te da un valor para $x$ y te dicen que resuelvas para $t$, lo más que puedes hacer es encontrar posibilidades de $t$, ya que los puntos $(x,y)$ en el gráfico se repiten cada $2\pi*t$. La misma idea es cierta para raíces cuadradas. Cuando elevas al cuadrado un número, siempre se crea un número positivo, por lo tanto, es imposible revertirlo definitivamente. Lo más que podemos hacer es decir que hay dos posibilidades de cuál era el número original. Por convención, se ha establecido que para una ecuación $a^2 = b$, donde $\sqrt{b}=c$, decimos que $c=\vert a \vert$. También funcionaría definir una raíz cuadrada como $c=-\vert a \vert$, pero supongo que a los matemáticos que decidieron sobre esto les gustaba trabajar con números positivos.

El punto de todo esto fue simplemente establecer que tomar la raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado, no invierte su exponente, porque no puede ser revertido definitivamente. Como user86418 lo expresó:

Si a y b son números reales, entonces las condiciones $a^2=b$ y $a=\sqrt{b}$ no son lógicamente equivalentes; la segunda implica la primera, pero no viceversa.

Por lo tanto, para fines de convención, se ha definido que una raíz cuadrada es el valor absoluto del número original que se elevó al cuadrado. Esto es por qué, si introduces las funciones $y^2 = x$ y $y = \sqrt{x}$ en una calculadora gráfica o en Wolfram Alpha, obtendrás dos gráficos muy diferentes. Nota cómo el gráfico de $y=\sqrt{x}$ nunca desciende por debajo del eje $x$. Si se hubiera definido una raíz cuadrada como siempre negativa, el gráfico de $y=\sqrt{x}$ simplemente se invertiría respecto al eje $x$.

Answer 4

Técnicamente esta afirmación es incorrecta. Podría decir, "La raíz cuadrada de un número positivo es positiva (por definición)". Por ejemplo, para 0 se tiene $\sqrt{0}=0$, que no es ni positivo ni negativo. Y para números negativos incluso se obtienen soluciones complejas que no son ni positivas ni negativas ni igual a 0.

El artículo definido y el singular en "la raíz cuadrada" también son importantes para implicar la definición convencional de $\sqrt{}$. Pero más correcto sería decir "la raíz cuadrada principal", porque matemáticamente la expresión "la raíz cuadrada" no tiene sentido, ya que en general hay dos raíces diferentes.

Answer 5

La raíz cuadrada se define como la raíz positiva. En realidad siempre hay 2 raíces, una positiva y una negativa. Piensa en la raíz cuadrada de 4, lo que se está preguntando es "¿qué dos números iguales se multiplican para dar 4?" La respuesta sería 2 o -2 porque 2x2=4 y (-2)x(-2)=4.