¿Puede ser negativo la raíz cuadrada de un número real?

Question

¿Puede la raíz cuadrada de un número real ser negativa?

Al tratar con las cuestiones de funciones en el onceavo grado, mi profesor de matemáticas dice que la raíz cuadrada de un número real siempre es positiva. ¿Cómo es posible?

Answer 1

Dado un número real positivo $a$, existen dos soluciones a la ecuación $x^2 = a$, una es positiva y la otra es negativa. Denotamos la raíz positiva (a la que a menudo llamamos la raíz cuadrada) como $\sqrt{a}$. La solución negativa de $x^2 = a$ es $-\sqrt{a}$ (sabemos que si $x$ satisface $x^2 = a$, entonces $(-x)^2 = x^2 = a$, por lo tanto, porque $\sqrt{a}$ es una solución, también lo es $-\sqrt{a}$). Entonces, para $a > 0$, $\sqrt{a} > 0$, pero hay dos soluciones a la ecuación $x^2 = a$, una positiva ($\sqrt{a}$) y una negativa ($-\sqrt{a}$). Para $a = 0$, las dos soluciones coinciden con $\sqrt{0} = 0.

Answer 2

Es solo una cuestión notacional. Por convención, para $x$ positivo (real claramente), $\sqrt{x}$ denota la raíz cuadrada positiva del número real $x$. De la misma manera, acordamos por convención notacional que $-\sqrt{x}$ es la raíz cuadrada negativa de $x. Por supuesto, cada número real positivo, $x$, tiene dos raíces cuadradas, $\sqrt{x}$ y $-\sqrt{x}$, respectivamente números reales positivos y negativos.

A veces me preocupa lo que se enseña en matemáticas en la escuela secundaria en estos días.

Answer 3

Creo que tu confusión deriva de asumir que si $a^2= b$ entonces $\sqrt{b} = a$, pero en realidad no es así. La forma correcta de expresar esto sería $\sqrt{b} = \vert a \vert$. Por lo tanto, $a^2 = b = (-a)^2$, sin embargo $\sqrt{b} = \vert a \vert \neq -\vert a \vert. Esto se puede demostrar por contradicción:

Si dijéramos que $a=\sqrt{b}=-a$, eso implicaría que $a = -a$, y por ejemplo $1= \sqrt{1} = -1 \implies 1=-1$, lo cual sabemos que es falso. Esta contradicción no aparece al decir $a^2 = b = (-a)^2 \implies a^2 = (-a)^2$, porque, si usamos el mismo ejemplo, obtendríamos $1^2 = 1 = (-1)^2 \implies 1^2 = (-1)^2 \implies 1=1$, lo cual es verdadero (ya que, por definición, cualquier número elevado al cuadrado debe ser positivo). Por eso, al evaluar $a^2 = b$, obtendrás dos posibles soluciones para $a$ (una positiva y una negativa). Sin embargo, al evaluar la ecuación $a = \sqrt{b}$, $a$ solo puede tener una solución en un momento dado y, por convención, se definió que una raíz cuadrada siempre debe ser positiva. Esta es una distinción importante porque nos permite ver la ecuación $4=a^2$ y encontrar que $a=2\oplus a=-2$, evitando así la contradicción $a=2 \wedge a=-2 \implies 2=-2$ al decir $2^2=4=2^2 \implies 2 = 2 \oplus (-2)^2=4=(-2)^2 \implies -2=-2$. Esta idea puede parecer perderse al graficar ecuaciones como la de un círculo. La ecuación $x^2 + y^2 = 1$ parece tener 2 valores de $y$ para cada $x$ y 2 valores de $x$ para cada $y$. Esto se puede entender mejor al mirar la ecuación paramétrica de un círculo: $x=cos(t); y=sin(t)$. Para cualquier valor dado de $t$, solo hay un valor correspondiente de $x$ y un valor correspondiente de $y. Si se te da un valor de $x$ y se te pide resolverlo por $t$, lo máximo que puedes hacer es encontrar posibilidades de $t$, ya que los puntos $(x,y)$ en el gráfico se repiten cada $2\pi*t$. La misma idea es cierta para las raíces cuadradas. Cuando elevas al cuadrado un número, siempre obtienes un número positivo, por lo tanto, es imposible revertirlo definitivamente. Lo máximo que podemos hacer es decir que hay dos posibilidades de cuál fue el número original. Por convención, se ha establecido que para una ecuación $a^2 = b$, donde $\sqrt{b}=c$, decimos que $c=\vert a \vert$. También funcionaría definir una raíz cuadrada como $c=-\vert a \vert$, pero supongo que a los matemáticos que decidieron les gustó más trabajar con números positivos.

El punto de todo esto era simplemente establecer que tomar la raíz cuadrada de un número al cuadrado no reversa su exponente, porque no puede ser revertido definitivamente. Como el usuario86418 lo expresó:

Si a y b son números reales, entonces las condiciones $a^2=b$ y $a=\sqrt{b}$ no son lógicamente equivalentes; la segunda implica la primera, pero no a la inversa.

Por lo tanto, con fines de convención, se ha definido una raíz cuadrada como el valor absoluto del número original que fue elevado al cuadrado. Por eso, si introduces las funciones $y^2 = x$ y $y = \sqrt{x}$ en una calculadora gráfica o en Wolfram Alpha, verás que obtienes dos gráficos muy diferentes. Observa cómo el gráfico de $y=\sqrt{x}$ nunca desciende por debajo del eje $x$. Si una raíz cuadrada se hubiera definido como siempre negativa, el gráfico de $y=\sqrt{x}$ simplemente se reflejaría en el eje $x$.

Answer 4

Técnicamente esta afirmación es incorrecta. Podría decir, "La raíz cuadrada de un número positivo es positiva (por definición)". Por ejemplo, para 0 se obtiene $\sqrt{0}=0$ que no es ni positivo ni negativo. Y para números negativos incluso se obtienen soluciones complejas que no son ni positivas, ni negativas ni 0.

El artículo definido y el singular en "la raíz cuadrada" también es importante para implicar la definición convencional de $\sqrt{}$. Pero más correctamente debería decir "la raíz cuadrada principal", porque matemáticamente la expresión "la raíz cuadrada" no tiene sentido, ya que en general hay dos raíces diferentes.

Answer 5

La raíz cuadrada se define como la raíz positiva. En realidad siempre hay 2 raíces, una positiva y otra negativa. Piensa en la raíz cuadrada de 4, lo que se está preguntando es "¿qué dos números que sean iguales multiplican para dar 4?" La respuesta sería 2 o -2 porque 2x2=4 y (-2)x(-2)=4.