Pregunta de Folland en los modos de convergencia

Question

He estado leyendo a través de Folland, y estoy teniendo un tiempo difícil contestar a la siguiente pregunta. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Supongamos $\lvert f_n \rvert \leq g \in L^1$ $f_n \rightarrow f$ en la medida.

Probar lo siguiente:

(a) $\int f = \lim\int f_n.$

(b) $f_n \rightarrow f$ $L^1.$

Answer 1

Sugerencia: convergencia dominada por una larga.

Answer 2

Aquí es un camino posible cuando el espacio es asumido $\sigma$-finito. Siempre puede ser asumido como podemos escribir $S=\bigcup_{n\geqslant 1}\{x, |g(x)|>n^{-1}\}$ y el trabajo con $S$ como subyacente el espacio.