Encontrar $x$ en la ecuación de $x^x = n$ para un determinado $n$

Question

Simplemente: ¿Cómo puedo resolver esta ecuación para un determinado $n \in \mathbb Z$?

$x^x = n$

Me refiero, por supuesto, $2^2=4$ $3^3=27$ y así sucesivamente. Pero no entiendo cómo calcular la inversa de este, para obtener de un determinado$n$$x$.

Answer 1

Consulte este artículo de la wikipedia: la función W de Lambert

Si $x^x=n,$ $$x=\dfrac{\ln n}{W(\ln n)},$$ Where $W$ es la función W de Lambert.

Answer 2

Más sencillo:

Si $x^x = n$, entonces $x\ln(x) = \ln(n) =y$.

Vamos $f(x) = x\ln(x)-y $. $f'(x) =\ln(x)+1 $.

La aplicación de la iteración de Newton, comenzando con $x = \frac{y}{\ln y}$, $x_{nuevo} =x-\frac{f(x)}{f'(x)} =x-\frac{x\ln(x)-y}{\ln(x)+1} =\frac{x\ln(x)+x-x\ln(x)+y}{\ln(x)+1} =\frac{x+y}{\ln(x)+1} $.

Iterar hasta que esté cocido.