La holomorficidad débil implica que es suave y holomorfa.

Question

Se trata de una ampliación de una pregunta formulada anteriormente:

Una función $f\in L^2(D)$ es débilmente holomorfo si, para cada $\phi\in \mathcal{C}^{\infty}_c(D)$ , $$\int_D f\partial_{\bar{z}}\phi = 0.$$ Estoy tratando de mostrar que cada uno de esos $f$ es suave en el interior de $D$ y es de hecho una solución fuerte para $\partial_{\bar{z}}f=0$ ; es decir, $f$ es holomorfa en el sentido habitual.

Esto es lo que he probado hasta ahora:

Dejemos que $B$ sea un conjunto abierto acotado en $\mathbb{R}^n$ y $f\in L^p(D)$ para $1<p<\infty$ . Sea $g$ sea una función suave y no negativa soportada en la bola unitaria con integral de Lebesgue 1 y consideremos el mollificador $$f_{\epsilon}(x)=\epsilon^{-n}\int_{B}g(\frac{x-y}{\epsilon})f(y)dy$$ donde $x\in B$ y $\epsilon<|x,\partial B|$ . Entonces, $f_{\epsilon}\rightarrow f$ uniformemente en el $L^p$ sentido como $\epsilon\rightarrow 0$ . En consecuencia, $f$ pueden aproximarse mediante funciones suaves y con soporte compacto en $B$ .

Ahora bien, suponiendo que esto sea cierto en el caso complejo si simplemente sustituimos $B$ con el disco de la unidad $D$ (No lo he demostrado, pero creo que es correcto...) entonces estoy esencialmente hecho si puedo demostrar que mis funciones molineras son holomorfas puesto que ya sé que son suaves. Sin embargo, no estoy muy seguro de dónde entraría en juego la hipótesis. De todos modos, ¿es este el camino correcto?

Gracias.

Answer 1

Es así:

1. Aléjese del límite para obtener una $\epsilon$ de la habitación: $f_\epsilon$ se define en el conjunto $D'=\{z\in D: \operatorname{dist}(z,\partial D)>\epsilon_0\}$ y consideramos $\epsilon<\epsilon_0$ abajo.
2. El teorema de Fubini muestra que $$\int_{D'} f_\epsilon (z)\partial_{\bar z}\phi\,dz = \epsilon^{-n}\int_{|w|<\epsilon} g(w/\epsilon) \, dw \int_{D'} f(z-w)\,\partial_{\bar z}\phi(z)\,dz =0 \tag1$$ para cualquier función de prueba $\phi$ con soporte compacto en $D'$ .
3. Desde $f_\epsilon$ es suave, podemos integrar por partes para trasladar la derivada a $f_\epsilon$ . Desde $\int (\partial_{\bar z}f_\epsilon) \phi=0$ para todas las funciones de prueba, se deduce que $ \partial_{\bar z}f_\epsilon=0$ en $D'$ . Es decir, $f_\epsilon$ es holomorfo.
4. Ya sabíamos que $f_\epsilon\to f$ en $L^p$ pero ahora se puede mejorar la convergencia uniforme en subconjuntos compactos de $L^p$ . En efecto, para una función holomorfa $h$ tenemos $|h(a)|\le \frac{1}{\pi r^2}\iint_{|z-a|<r} |h(z)|$ (esto se puede demostrar de varias maneras, incluyendo la fórmula integral de Cauchy). Dado que $(f_\epsilon)$ es Cauchy en $L^p$ también es Cauchy en la norma de supremacía en cada subconjunto compacto de $D'$ . Por lo tanto, converge uniformemente en subconjuntos compactos de $D'$ .
5. El límite es holomorfo en $D'$ siendo un límite localmente uniforme de funciones holomorfas.