Demuestre que$x * y = \frac{x+y}{1+xy}$ es una parte estable de$G=(-1, 1)$

Question

Tengo que demostrar que el resultado de$x * y \in G$ para$\frac{x+y}{1+xy} \in (-1, 1)$. Entonces$x > -1$ y$y > -1$ al mismo tiempo$x < 1$ y$y < 1$.

Si multiplico las 2 primeras expresiones obtengo$xy < 1$, lo cual es cierto, y si sumo las 2 últimas, obtengo$x + y < 2$. En este punto no estoy seguro de si estoy bien. ¿Cómo debo continuar con este problema?

Answer 1

Si$x,y\in (-1,1)$ entonces podemos encontrar$\alpha,\beta$ tal que$x = \tanh(\alpha)$ y$y=\tanh(\beta)$ y sigue que

PS

Como comentario adicional : la operación$$x*y = \frac{x+y}{1+xy} = \tanh(\alpha+\beta) \in (-1,1)$ es lo que define la adición de velocidad en relatividad especial (cuando se trabaja en unidades de$*$).

Answer 2

Sugerencia: considere el producto$(1-x)(1-y)$ o$(x-1)(y-1)$ y piense en su signo basado en el hecho de que$x,y \in (-1,1)$.