En El libro de Fleming y Jamison Banach demostró por primera vez un lema que utilizaba la derivada direccional para identificar el punto máximo de las funciones. Luego utilizó el lema en la demostración del teorema de Banach-Stone. Después de varios años, Stone extendió el resultado aflojando la condición de espacio métrico compacto a espacio compacto de Hausdorff. Pero parece que no puedo encontrar ninguna prueba de Stone sobre cómo demostró el teorema sólo con el espacio de Hausdorff. Si alguien ha encontrado la prueba original, puede compartir el enlace aquí? o si alguien todavía recuerda la idea, puede compartirla?
Respuestas
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Aquí es la referencia al artículo original, véase el teorema 83.
La idea principal de la prueba es la siguiente. Sea $Z$ sea un espacio compacto de Hausdorff. Para un determinado $p\in Z$ denotan $M_Z(p)=\{f\in C(Z):|f(p)|=\Vert f\Vert\}$ . También denota $\mathcal{M}_Z=\{M_Z(p):p\in Z\}$ . Dado $M\in\mathcal{M}_Z$ siempre podemos recuperar su punto $p\in Z$ .
Una vez que tenemos una isometría sobreyectiva $V:C(X)\to C(Y)$ podemos establecer una correspondencia biyectiva entre los conjuntos $\mathcal{M}_Y$ y $\mathcal{M}_X$ . Esta correspondencia da lugar a la biyección $\rho:Y\to X:q\mapsto p$ que resulta ser un homemorfismo.
