GAP dice que este semigrupo no es un grupo.

Question

Feliz Nowruz 2016 a todos los que están aquí!

Usando el código que James señaló aquí Estaba jugando con el siguiente semigrupo finito:

gap > f:=FreeSemigroup("a","b");;  
      a:=f.1;;  b:=f.2;; 
      w:=f/[[a^4,a],[b^2,a^3],[b*a,a^2*b],[b^3,b]];;
      T=Range(IsomorphismTransformationSemigroup(w));;

GAP nos dice que T tiene $6$ elementos, es regular (inverso) y tiene sólo una identencia. Esto significa que T es un grupo finito ver aquí .

Pero, al llamar a otros códigos AsGroup(T) y IsGroup(T) ambos terminarían con resultados indeseables failed y false respectivamente. ¿Hay algo obvio que no puedo ver bien?

Gracias por el tiempo.

Answer 1

Alex tiene razón: IsGroup sólo regresa true si el objeto al que se aplica pertenece a la categoría de grupos. Esto significa que ciertas operaciones tienen sentido para el objeto, como la inversión (vía Inverse o ^ -1 ), y One . Como las transformaciones no siempre tienen un inverso, esto significa que a veces no pertenecen a la categoría de grupos aunque sí definen un grupo matemáticamente. Sólo para complicar la vida, a veces también pertenecen a la categoría de grupos, pero no entremos en eso.

Lo que hay que comprobar es IsGroupAsSemigroup que comprueba que el objeto define matemáticamente un grupo, tanto si pertenece a la categoría de grupos como si no. También puede hacer IsomorphismPermGroup para dar un grupo de permutación de isomorfismo.

Con el Semigrupos paquete cargado que obtendrás:

gap> IsGroupAsSemigroup(T);
true
gap> IsomorphismPermGroup(T);
MappingByFunction( <transformation group of degree 7 with 2 generators>
, Group([ (2,3,4)(5,6,7), (2,7)(3,6)
(4,5) ]), <Attribute "PermutationOfImage">, function( x ) ... end )

Ni IsGroupAsSemigroup ni IsomorphismPermGroup trabajar en GAP sin el Semigrupos paquete.

No sé por qué AsGroup retornos fail el documentación es un poco vago. Esto es probablemente un error.