Probar que$\varphi$ es automorfismo

Question

$G$ es un grupo conmutativo. $|G|=n$.
$m\in \mathbb{N}$ y$\gcd(m,n)=1$.

Necesito demostrar que$\varphi :G\to G$,$\varphi(x)=x^m$ es un automorfismo de G.

Mi intento:
Asumo que$a\in \ker(G)$, así que$a\in G$ y en una mano:$a^m=e$ (porque$\varphi(a)=e$), y en la otra mano$a^n=e$ porque$a\in G \Longrightarrow$ porque$\gcd(m,n)=1,\;a$ debe ser$e$, entonces$\ker(\varphi)=\left\{e\right\}$.
Y eso significa que$\varphi$ es Aut.

¿Estoy en lo cierto? mi prueba esta bien

¡Gracias!

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, la prueba presentada anteriormente es casi correcta: solo debe mostrar que$\phi$ es un morfismo. (Esto se hizo en los comentarios, pero como se supone que los comentarios son efímeros, incluiré el siguiente esquema).

Si$a, b\in G$, entonces$\phi(a)\phi(b) = a^mb^m = (ab)^m = \phi(ab)$. Por lo tanto,$\phi$ es un homomorfismo. (Esto requiere que$G$ sea abeliano.)