Mi maestro resuelto este problema en la clase, pero no entiendo cómo un paso está justificada.
Demostrar que $$\int_0 ^{+\infty} \! \mathrm e ^{- x^2 } \, \mathrm d x = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$$ using this relation $$\int_0 ^{+\infty} \! \int_0^{+\infty} \! y \,\mathrm e ^{-(1+ x^2 )y} \, \mathrm d y \, \mathrm d x = \dfrac{\pi}{4}.$$
Usando el teorema de Fubini nos interruptor de integrales: $$\int_0 ^{+\infty} \! y\, \mathrm e ^{-y} \left( \int_0 ^{+\infty} \! \mathrm e ^{-x^2 y} \, \mathrm d x \right) \mathrm d y = \dfrac{\pi}{4}.$$
Permítanos calcular primero: $$\int_0 ^{+\infty} \! \mathrm e ^{-x^2 y} \, \mathrm d x =\int _0 ^{+\infty} \! \dfrac{\mathrm e ^{-t ^2}}{\sqrt y}\, \mathrm d t= \dfrac{\mathcal E}{\sqrt y},$$ donde hemos hecho el cambio de $x\sqrt y =t $ e $\mathcal E$ es la integral que queremos calcular.
A continuación, $$\int _0 ^{+\infty} \! y \, \mathrm e ^{-y} \dfrac{\mathcal E}{\sqrt y} \, \mathrm d y = \mathcal E \int _0 ^{+\infty} y ^{\frac{1}{2}} \, \mathrm e ^{-y} \, \mathrm d y = $$ $$=\mathcal E \int _0 ^{+\infty} y ^{\frac{3}{2}-1} \, \mathrm e ^{-y} \, \mathrm d y = \mathcal E \, \Gamma \left( \frac{3}{2} \right) \color{red}{\stackrel{?}{=}} $$ $$\color{red}{\stackrel{?}{=}} \mathcal E \int_0 ^{+\infty} \mathrm e ^{-s ^2} \, \mathrm d s = \mathcal E ^2 = \dfrac{\pi}{4},$$ por lo tanto, $$\mathcal E = \dfrac{\sqrt \pi}{2} = \int _0 ^{+\infty}\! \mathrm e ^{-x^2} \, \mathrm d x.$$
Lo que no entiendo es ¿cómo se relacionan $\mathcal E$ con la función gamma, que es, $$\Gamma \left( \frac{3}{2} \right) = \int _0 ^{+\infty}\! \mathrm e ^{-x^2} \, \mathrm d x = \mathcal E.$$ He visto que $\Gamma \left( \frac{3}{2} \right) = \dfrac{\sqrt \pi }{2}$, pero como no conocemos el valor de $\mathcal E$ aún (ya que esto es lo que estamos tratando de demostrar), esto no es una manera de relacionarse con ellos.
Gracias por su ayuda.
