Se menciona aquí que un funtor exacto derecho conmuta con colimits sólo bajo algunas buenas condiciones.
Me pregunto si existe un contraejemplo concreto de un functor exacto que no conmute con colimits.
Consideremos el functor $\text{Hom}(M, -)$ donde $M$ es, para concretar, un $R$ -y Hom toma valores en grupos abelianos. Este functor es exacto si $M$ es proyectiva pero conmuta con los colímites si $M$ es proyectiva de generación finita. Así que un contraejemplo viene dado por cualquier módulo proyectivo que no esté finitamente generado, por ejemplo un módulo libre infinitamente generado $\bigoplus_{i=1}^{\infty} R$ .
Gracias por su respuesta, pero ¿podría mostrar una prueba de "pero conmuta con colimits si $M$ es finitamente generado proyectivo" o alguna referencia que contenga este resultado? No lo he visto antes...
@Ti Wen: $\text{Hom}(M, -)$ es automáticamente exacta a la izquierda, por lo que es exacta a la derecha si es exacta. Puedes encontrar una prueba aquí: qchu.wordpress.com/2015/05/07/tiny-objects Pero no hace falta esta demostración para entender el contraejemplo, basta con comprobar directamente que el functor que he escrito no conmuta con, por ejemplo, infinitos coproductos.
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