La intuición inicial incorrecta sobre el límite de$\frac{\sin(x)}{x}$ como$x$ va a 0

Question

Estoy siguiendo el MIT OpenCourseware curso de cálculo, y al probar el derivado de la $\sin(x)$ el siguiente supuesto se necesita

$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

La prueba de esto es dado y puedo seguir.

Mi pregunta, sin embargo, se refiere a mi intuición. Y es que el límite de $\sin(x)$ a 0 se define como: $\sin(0) = 0$. Así que ¿por Qué está mal conectar sólo que en

$ \frac{\sin(0)}{0} = 0$

Nunca me hubiera mirado más porque esto parece un problema sencillo. Lo que está mal con mi intuición aquí?

Answer 1

Usted está cometiendo dos errores fundamentales:

Primero: después de la sustitución de $x=0$, se termina dividiendo por $0$.
Este es un indefinido de expresión; así, se debe sospechar que las cosas han ido mal. En tu ejemplo, incluso peor cosa que sucede: el viento con $0\over0$; que (si no tiene ningún sentido) es aún más "indefinido" que, dicen, $1\over 0$.

Por ejemplo, $\lim\limits_{x\rightarrow 0}{2x\over x}=2$ y $\lim\limits_{x\rightarrow 0}{ x\over 2x}={1\over2}$.

De hecho, una forma 0/0, posiblemente, podría ser cualquier cosa.

En segundo lugar, al tomar límites, usted realmente debe evitar que se acaba de conectar en el punto límite en la expresión. Esto sólo funciona en ciertos casos (cuando el límite existe y la función es continua en el punto límite), y, lo que es más importante, se esconde la verdadera naturaleza de lo que un límite es:

De manera informal, escribir $$\lim_{x \rightarrow a} f(x)=L$$ if the values of $f(x)$ get closer and closer to $L$ as $x$ obtiene más cerca y más cerca de a, pero no igual a, $a$.

Note la frase "no igual a" en la anterior. Esta es una restricción importante y es la razón por la que sólo sustituyendo el punto límite en lo que usted está tomando el límite de puede conducir a problemas.

Como un ejemplo de la determinación del límite de una forma 0/0, vamos a tratar de encontrar
$$ \etiqueta{1} \lim_{x\rightarrow 1}{(x+1)(x-1)\(x-1)} $$

Formalmente substitutiing $x=1$ en el de arriba da $0/0$.

Si, sin embargo, $x$ está cerca de uno, pero diferente de 1, entonces la sustitución en la lado derecho de (1) da un número definido; por otra parte, la $(x-1)$ términos cancelará y el resultado final será sólo $x+1$.
Por lo tanto, si $x$ es cercano a 1, pero diferente de 1, la expresión ${(x+1)(x-1)\over (x-1)}$ es de cerca de 2.

Como resulta, cuanto más cerca de $x$ a 1, pero diferente de 1, más cerca ${(x+1)(x-1)\over (x-1)}$ es 2; y así $\lim\limits_{x\rightarrow 1}{(x+1)(x-1)\over (x-1)}=2$.

Encontrar el límite de ($\thinspace\lim\limits_{x\rightarrow0}{\sin x\over x} \thinspace$) es un poco más complicado que el anterior. Usted puede encontrar el estándar de derivación de este límite, el cual utiliza la El Teorema Del Sándwich
y la geometría simple aquí (o en el sitio del curso, como se dijo).

Answer 2

Puedes usar la regla de L'Hôpital .

$$ \begin{align*} \frac{d}{dx} \sin(x) &=\cos(x) \\ \frac{d}{dx} x &= 1 \\ \lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin(x)}{x}&=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos(x)}{1}=1 \end {align *} $$

Edición: creo que esta regla es muy útil para evaluar límites que involucran formas indeterminadas. No como prueba, sino como una prueba de cordura de una respuesta intuitiva .