Controlando el tamaño de una cubierta abierta de un conjunto de medida cero

Question

Supongamos que tenemos un subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ de medida de Lebesgue cero contenido en un intervalo compacto, digamos $[0,1]$. Sabemos que dado que $A$ tiene medida cero, podemos cubrir $A$ con un conjunto numerable de intervalos abiertos, digamos $\{U_i\}$, de manera que $\mu(\cup_iU_i)\leq \varepsilon$ para cualquier $\varepsilon$. Ahora, si fijamos algún $\varepsilon>0$, ¿podemos cubrir $A$ con un conjunto numerable de intervalos abiertos, digamos ahora $\{V_i\}$, de manera que $\mu(V_i)\leq\frac{\varepsilon}{2^i}$ para cada $i$? Es decir, ¿podemos controlar el tamaño de cada conjunto individual de alguna manera? He estado pensando en esto por un tiempo, y sigo encontrando que tengo que hacer cosas un número infinito de veces, o tener que elegir los índices incorrectos primero. ¿Alguna idea?

¡Gracias!

Answer 1

Si la propiedad se cumple, entonces $A$ tiene dimensión de Hausdorff $0$, porque $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{\varepsilon}{2^n}\right)^d=\frac{\varepsilon^d}{2^d-1}$$ puede ser hecho arbitrariamente pequeño para cada $d>0$ fijo eligiendo $\varepsilon$ suficientemente pequeño. El conjunto de Cantor tiene medida de Lebesgue $0$ y dimensión de Hausdorff $\log_3(2)$, por lo que es un contraejemplo.