Pregunta sobre la distribución binomial.

Question

$X$ es una variable aleatoria con parámetros de distribución binomial$n$ y$p_1$.

$Y$ es una variable aleatoria con parámetros de distribución binomial$n$ y$p_2$.

$p_1 < p_2$

¿Cómo puedo mostrar que$P(X \leqslant k) \geqslant P(Y \leqslant k)$?

Por favor solo dame una pista

Intenté comparar los términos${n \choose k}p_1^k(1-p_1)^{n-k}$, pero esto no funciona (después de intentar esto, es obvio, en retrospectiva, que no funciona).

Answer 1

Consejo: define las dos variables en el mismo espacio de probabilidad. Específicamente, vamos a$X = \sum_{i=1}^n A_i$ y$Y = \sum_{i=1}^n B_i$, donde$\{A_i\}$ y$\{B_i\}$ son colecciones de variables independientes de Bernoulli. Sin embargo,$A_i$ y$B_i$ deben ser variables dependientes ; específicamente, cada uno debe definirse en el espacio muestral común$[0, 1]$ de la siguiente manera: $$ (A_i, B_i) \ mapsto \begin{cases} (1, 1), & x < p_1\\ (0, 1), & p_1 < x < p_2\\ (0, 0), & x > p_2. \end {cases} $$