Grupos de FG con un subgrupo abeliano de índice finito

Question

Es bien sabido que un grupo virtualmente cíclico es finito, o finito por (cíclico infinito) o finito por (diedro infinito).

Quiero saber si hay alguna descripción similar para fg virtualmente grupos abelianos, o incluso para grupos más simples (p. Ej. Virtualmente (abeliano libre de rango 2)). En el caso afirmativo, ¿son las pruebas fáciles / cortas? Las referencias son bienvenidas también.

¡Gracias!

Answer 1

NOTA: SE no me permite el comentario esta pregunta, así que estoy de presentación de informes (como respuesta) mi intento de hacer frente a una pregunta que resulta ser equivalente a la siguiente (la podéis encontrar aquí). La esperanza no es un problema.

Prácticamente $\mathbb{Z}^d$ $G$ $\mathbb{Z}^d$- por-finito. Que nos llame a $N$ normal subgrupo de índice finito en $G$, isomorfo a $\mathbb{Z}^d$.
Sabemos que $Q = G/N$ es arbitraria finito y de grupo, con el fin de clasificar o caracterizar todos $G$, un enfoque podría ser tratar de resolver el problema con la extensión de $N$$Q$. Lo que uno tiene que hacer es encontrar, para todos los fijos $Q$, el homomorphisms $$\varphi\ :\ Q\ \rightarrow\ Aut(N)$$ in order to reconstruct the action of $Q$ on $N$. Since $Aut(\mathbb{Z}^d) \cong \mathsf{GL}(d,\mathbb{Z})$, one just has to consider the $k$-involutory elements of $\mathsf{GL}(d,\mathbb{Z})$.
Es fácil encontrar algunas referencias con una clasificación de los subgrupos finitos de $\mathsf{GL}(d,\mathbb{Z})$ hasta, al menos, $d \le 7$ (y su número es finito $\forall\ d$) -si alguien está interesado, me puede proporcionar.
Una vez que hemos tales entero $k$-involutory matrices, podemos tener la esperanza de concluir algo acerca de $\varphi$ y, a continuación, acerca de la $G$.