La cuadratura del círculo

Question

¿Es posible la cuadratura del círculo en cualquier tipo de métrica? Se sabe que dentro de la métrica euclidiana es imposible, pero ¿existe algún mundo o espacio donde sea posible? De forma parecida a como $x^2+1$ no tiene soluciones en el campo real, pero sí en el campo complejo.

Answer 1

Sí. En la esfera ordinaria de radio $1,$ hay un número contable de pares de "cuadrados" y círculos con áreas iguales, en los que se puede construir tanto el radio (geodésico) del círculo como la longitud de los cuatro lados del cuadrado. El límite de esto es cuando ambos son una semiesfera, considerada como un cuadrado con cuatro ángulos todos iguales a $\pi.$

Similar en el plano hiperbólico, número contable de pares.

En ambos casos, no hay ningún procedimiento para empezar con un círculo de radio desconocido y construir el cuadrado de igual área, o para empezar con un cuadrado de longitud de arista desconocida y producir el círculo de igual área. Se podría decir que ambas figuras deben construirse al mismo tiempo.

Véase mi artículo en el Intelligencer en y el artículo de Marvin en http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/old-and-new-results-in-the-foundations-of-elementary-plane-euclidean-and-non-euclidean-geometries

Answer 2

Solemos definir un círculo de radio $r$ sobre un punto $(x_0,y_0)$ en un $x,y$ plano de coordenadas utilizando la métrica euclidiana $\|x,y\|_2 = \sqrt{x^2 + y^2}:$ fijamos $\|x-x_0, y-y_0\|_2 = r.$

Si en su lugar utilizamos la métrica del taxi, $\|x,y\|_1 = |x| + |y|,$ y definir un círculo de radio $r$ sobre $(x_0,y_0)$ como el conjunto de puntos $(x,y)$ satisfaciendo $\|x-x_0, y-y_0\|_2 = r,$ entonces cada "círculo" es lo que normalmente veríamos como un cuadrado con sus diagonales paralelas a los ejes.

Si utilizamos la métrica $\|x,y\|_\infty = \max(|x|, |y|),$ para que el círculo de radio $r$ sobre $(x_0,y_0)$ se define por $\|x-x_0, y-y_0\|_\infty = r,$ el "círculo" es lo que normalmente consideraríamos como un cuadrado cuyos lados son paralelos a los ejes.

Pero también se necesitaría una definición de lo que significa que una figura sea "cuadrado" con respecto a la $\|\cdot\|_1$ medida o el $\|\cdot\|_\infty$ medida, y requeriría una definición de "área" con respecto a la misma medida.