Estoy tratando de probar la primera parte de la Proposición 8.1.8 estándar en V. I. Bogachev, Teoría de la Medida 2:
Una secuencia de firmado medidas de $\mu_n$ en el intervalo de $[a,b]$ converge débilmente a una medida $\mu$ precisamente al $\sup_n\lvert|\mu_n|\rvert<\infty$ y cada subsequence en la secuencia de las funciones de distribución de $F_{\mu_n}$ de las medidas de $\mu_n$ contiene una larga convergente a $F_\mu$ en todos los puntos, con la excepción de los puntos de un en la mayoría de los contables conjunto.
Yo estoy luchando con la dirección $\Leftarrow$ y ya se le hace una pregunta acerca de esto aquí, pero no estoy seguro si hice mención de todo lo necesario así que permítanme citar las primeras líneas de la prueba:
Supongamos que las medidas de $\mu_n$ son uniformemente acotadas y satisfacer la condición indicada con subsecuencias, pero no converge débilmente a $\mu$. Ya que cada función continua $f$ puede ser uniformemente de forma aproximada mediante las funciones lisas, se obtiene, teniendo en cuenta el acotamiento de $\lvert|\mu_n|\rvert$, que existe una función suave $f$ de manera tal que la integral de la $f$ contra las medidas de $\mu_n$ no convergen a la integral de la $f$ contra $\mu$. De pasar a la larga, podemos deducir que la diferencia entre el indicado integrales sigue siendo mayor que en el $\delta>0$. De pasar a la larga, una vez más, podemos suponer que $\lim_{n\to\infty}F_{\mu_n}=F_\mu$ a todas partes, con la excepción de finiteley o countably muchos puntos.
Sin problemas, para mí hasta ahora. Por favor, observe $F_{\mu_n}(t):=\mu_n([a,t))$.
Las funciones de $F_\mu$ $F_{\mu_n}$ son constantes en $(b,+\infty)$, por lo tanto $\mu([a,b])=\lim_{n\to\infty}\mu_n([a,b])$. A continuación, la fórmula de integración por partes de los rendimientos que el lado derecho de la igualdad $$\int_a^bf(t)\mu_n(dt)=f(b)F_{\mu_n}(b+)-\int_a^bf'(t)F_{\mu_n}(t)dt$$ converge a $$ f(b)F_{\mu}(b+)-\int_a^bf'(t)F_{\mu}(t)dt=\int_a^bf(t)\mu(dt)$$ lo que conduce a una contradicción.
Mi problema es que yo no veo por qué la última integral en la primera línea converge a la primera integral en la segunda línea. Yo no veo ninguna posibilidad de aplicar la monotonía o de la convergencia dominada, así que no tengo idea de qué hacer.
Cualquier ayuda sería muy apreciada, de verdad que estoy atrapado aquí. Muchas gracias de antemano.
Edit: Si esto es trivial, por favor, me acaba de dar una sugerencia corta. Esto me está volviendo loco!
