Demuestra que tres vectores son coplanarios

Question

Se dan tres vectores: $u,v,w$ . Se da que: $|u|=|v|=|w|= \sqrt{2}$ ; $u\cdot v=u\cdot w=v\cdot w=-1$ . Demostrar que los vectores $u,v,w$ son coplanares (en el mismo plano).

Tengo algunas ideas, pero no sé si son útiles en este caso:

Sé que tres vectores son coplanares si $u\cdot(v x w)=0$ . Además, supongo que se puede demostrar con la dependencia lineal, pero no sé cómo usarla aquí.

Además, pensé que tal vez el ángulo entre los vectores puede ser de ayuda $120$ grados entre cada $2$ vectores- pero ¿significa eso necesariamente que están en el mismo plano- coplanar?

Answer 1

La suma de tres ángulos formados por tres vectores no coplanares es siempre menor que 360 grados. Sin embargo, en lugar de demostrar esta afirmación general se puede llegar al resultado requerido inmediatamente, observando que los vectores del problema forman un triángulo equilátero. Una comprobación sencilla lo demuestra:

$$(u+v+w)\cdot(u+v+w)=|u|^2+|v|^2+|w|^2+2u\cdot v+2v\cdot w+2w\cdot u=0\\ \implies u+v+w=0.$$

Como los tres vectores son linealmente dependientes, son coplanarios.