¿Cómo puedo concluir de$ f \notin L^{p}$ que$f_{n} \nrightarrow f$ en$L^{p}$

Question

Deje $f_{n}(x):=\frac{n\sqrt{x}\sin{x}}{1+nx^2}$ e $f(x)=x^{-\frac{3}{2}}\sin{(x)}$. Deje $p \geq 2$.

Mostrar que $ f \notin L^{p}(]0,\infty[)$ y que $f_{n} \nrightarrow f$ en $L^{p}(]0,\infty[)$

En $ f \notin L^{p}(]0,\infty[)$:

$$\int_{0}^{\infty}\left\vert x^{-\frac{3}{2}}\sin{(x)}\right\vert^{p}dx=\int_{0}^{\infty} x^{-\frac{3}{2}p}\left\vert\sin{(x)}\right\vert^{p}dx=\int_{0}^{\infty} x^{-\frac{p}{2}}\frac{\left\vert\sin{(x)}\right\vert^{p}}{x^{p}}dx=\int_{0}^{\infty} x^{-\frac{p}{2}}\left(\frac{\left\vert\sin{(x)}\right\vert}{x}\right)^{p}dx$$

Tenga en cuenta que no existe $ c > 0$ , de modo que $\frac{\vert\sin{(x)}\vert}{x}\geq c$ cuando $x \in ]0,1[$

Por lo tanto, $\int_{0}^{1} x^{-\frac{p}{2}}\left(\frac{\vert\sin{(x)}\vert}{x}\right)^{p}dx\geq \int_{0}^{1} x^{-\frac{p}{2}}c^{p}dx=\infty$ desde $p \geq 2$. Que resuelve la primera parte del problema. ¿Hay algún teorema que puedo usar para mostrar que $f_{n} \nrightarrow f$ en $L^{p}$.

Mis intentos:

$$\vert\vert f_{n} -f \vert\vert_{p}^{p}= \int_{0}^{\infty}\vert f_{n}(x)-f(x)\vert^{p}dx= \int_{0}^{\infty}\left\vert \frac{n\sqrt{x}\sin{x}}{1+nx^2} x^{-\frac{3}{2}}\sin{(x)}\right\vert^{p}dx$$

y, a continuación, tenga en cuenta que $\frac{n\sqrt{x}\sin{x}}{1+nx^2}=\frac{\sqrt{x}\sin{(x)}}{\frac{1}{n}+x^{2}}$ e $\frac{\sqrt{x}\sin{(x)}}{\frac{1}{n}+x^{2}}\nearrow \frac{\sin{(x)}}{x^{\frac{3}{2}}}$ para todos los $x \in ]0,\infty[$ por lo que la sucesión es monótona creciente. No sé si esto ayuda o no pero es lo mejor que me puede venir para arriba con. Todas las ideas son muy apreciados.

Answer 1

Se puede mostrar que el $f_n$ son elementos de $L^p$? Si es así supongo que $\lVert f_n - f \rVert_{L^p} \to 0$ e $f \not \in L^p$. Entonces, por la desigualdad de triángulo, para todos los $n$ tenemos $\lVert f \rVert_{L^p} \leq \lVert f_n \rVert_{L^p} + \lVert f - f_n \rVert_{L^p}$. Para $n$ lo suficientemente grande, $\lVert f_n - f \rVert_{L^p}$ debe ser finito, ya que tenemos mucho más fuerte condición que tiende a 0). Por lo tanto, $\lVert f \rVert_{L^p} < \infty$, por lo tanto $f \in L^p$. Contradicción.