¿Qué significa la fórmula del cordón para los polígonos con cruces?

Question

Dado un polígono simple con vértices (en orden) $v_1,v_2,\ldots,v_n$ el área de este polígono puede calcularse basándose únicamente en las coordenadas de estos vértices mediante la fórmula del cordón:

$$A=\frac{1}{2}\left|\ \sum_{i=1}^{n-1} (x_iy_{i+1}-y_ix_{i+1}) + (x_{n}y_{1} - y_{n}x_{1})\ \right|,$$ donde $v_i=(x_i,y_i)$ .

Todavía podemos calcular este valor si tenemos un polígono que está formado por un solo límite (por lo tanto, sin agujeros), pero tiene múltiples cruces. ¿El valor $A$ ¿tiene un significado geométrico en este caso?

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Para motivar el problema, permítanme dar un ejemplo. Tomemos la siguiente cadena poligonal con vértices A-F:

En este caso, $A=15$ . Si sumamos las áreas de ABH, EFHG y GCD, obtenemos el mismo valor. Así, en este caso el área en GHI se cuenta dos veces, y en las otras partes del polígono el área se cuenta una vez.

Por lo tanto, parece que $A$ es igual al área total del polígono, pero ciertas regiones se cuentan más de una vez, dependiendo del orden específico de cruce. Esto nos lleva a las siguientes preguntas:

• ¿Es cierto que $A$ es una suma ponderada de las "subáreas" del polígono, y ¿cómo podemos demostrarlo?
• ¿Cómo podemos determinar los pesos de cada área?

Answer 1

Dado un polígono cíclico $\gamma: (x_i,y_i)_{1\leq i\leq n}$ en el $(x,y)$ -plano la expresión $$A:={1\over2}\sum_{cyc} (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$$ representa la siguiente cantidad: La curva $\gamma$ tiene para cada punto ${\bf z}\notin\gamma$ un determinado número de bobinado $n_\gamma({\bf z})\in{\mathbb Z}$ . Geométricamente se puede determinar este número dibujando una semirrecta que empiece en ${\bf z}$ y salir al infinito en una dirección arbitraria. A continuación, cuente todas las intersecciones de $\gamma$ con este rayo según el signo: los cruces de derecha a izquierda cuentan como $+1$ y los cruces de izquierda a derecha cuentan como $-1$ . El total es $n_\gamma({\bf z})$ .

La respuesta a su pregunta es entonces: Un "elemento de área" centrado en ${\bf z}$ se cuenta $n_\gamma({\bf z})$ veces en la expresión $A$ .

La prueba de ello es algo complicada. Lamentablemente no puedo dar una referencia fácil.