Suma de series infinitas $\frac{1.3}{2}+\frac{3.5}{2^2}+\frac{5.7}{2^3}+\frac{7.9}{2^4}+......$

Question

Demostrar que la suma de la serie infinita $\frac{1.3}{2}+\frac{3.5}{2^2}+\frac{5.7}{2^3}+\frac{7.9}{2^4}+......$ es de 23 años.

Mi enfoque Tengo el siguiente término $S_n=\sum_1^\infty\frac{4n^2}{2^n}-\sum_1^\infty\frac{1}{2^n}$ .

Para $\sum_1^\infty\frac{1}{2^n}$ la respuesta es 1 ya que forma una serie geométrica pero no soy capaz de encontrar la solución a $\sum_1^\infty\frac{4n^2}{2^n}$ .

Answer 1

$$\frac{1.3}{2}+\frac{3.5}{2^2}+\frac{5.7}{2^3}+\frac{7.9}{2^4}+…=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(2n-1)(2n+1)}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(4n^2-1)}{2^n}$$ en función de la serie geométrica $$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }x^n$$ $$(\frac{1}{1-x})'=\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}$$ $$x(\frac{1}{1-x})'=\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n}$$ $$(x(\frac{1}{1-x})')'=\sum_{n=1}^{\infty }n^2x^{n-1}$$ $$x(x(\frac{1}{1-x})')'=\sum_{n=1}^{\infty }n^2x^{n}$$ $$4x(x(\frac{1}{1-x})')'=\sum_{n=1}^{\infty }4n^2x^{n}$$ $$4x(x(\frac{1}{1-x})')'-\frac{1}{1-x}=\sum_{n=1}^{\infty }4n^2x^{n}-\sum_{n=0}^{\infty }x^n$$ $$4x(x(\frac{1}{1-x})')'-\frac{1}{1-x}+1=\sum_{n=1}^{\infty }4n^2x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty }x^n$$ así que $$\sum_{n=1}^{\infty }x^n(4n^2-1)=\frac{4x^2+4x}{(1-x)^3}-\frac{x}{1-x}$$ ahora dejemos $x=1/2$ para conseguir $23$

Answer 2

Sugerencia . Se puede utilizar este $$\sum_{n\ge1}n^{2}x^n=\frac{x}{(1-x)^{2}}+\frac{2x^{2}}{(1-x)^{3}},\qquad |x|<1,$$ demostrado, por ejemplo, que aquí .

Espero que pueda tomar desde aquí.