La congruencia de las propiedades de $a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=0$?

Question

Es conocido que, dada una solución,

$$a^4+b^4+c^4 = d^4\tag1$$

a continuación, cualquiera de $-c+d,\;c+d$ es siempre divisible por $2^{10}$. Por ejemplo,

$$95800^4+414560^4+217519^4=422481^4$$

a continuación,$217519+422481=2^{10}\cdot5^4$.

Duncan Moore notado, pero no podía probar, similar al de la congruencia,

$$a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=0\tag2$$

Sólo hay tres conocidos primitivo soluciones de $a,b,c,d,e$, es decir,

$$27,\; 84,\; 110,\; 133,\; -144$$

$$220,\; -5027,\; -6237,\; -14068,\; 14132$$

$$55,\; 3183,\; 28969,\; 85282,\; -85359$$

Y tenemos,

$$27 + 133 = \color{blue}{2^5}\cdot5$$

$$-5027 -6237 = -\color{blue}{2^{10}}\cdot 11,\quad \text{and}\quad -14068 + 14132 = \color{blue}{2^6}$$

$$55 + 28969 = \color{blue}{2^5}\cdot907,\quad \text{and}\quad 3183 + (- 85359) = -\color{blue}{2^8}\cdot327$$

Pregunta: ¿Es cierto que las soluciones a $(2)$ siempre tienen un par de sumandos tales que el $a+b$ es divisible por $2^5$?

Answer 1

Es útil considerar por separado los casos con exactamente dos y exactamente cuatro términos raros (estas son las únicas posibilidades, ya que una solución con cero extraño no sería primitivo, mientras que una suma con un número impar de términos raros podría no igual a cero).

El caso con exactamente cuatro términos raros parece difícil, pero que con exactamente dos términos raros (que incluye dos de las tres soluciones conocidas) es sencillo. Sin pérdida de generalidad supongamos $a, b$ $(2)$ son impares y $c, d, e$ incluso. Entonces:

$$2^5\mid -(c^5+d^5+e^5)=(a^5 + b^5) = (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$$

El conjunto final de los soportes contiene cinco impar de términos, y es por lo tanto extraño. Por lo tanto:

$$2^5 \mid a+b$$

Este resultado se generaliza a cualquier número de términos, a condición de que exactamente dos términos son impares, y también a cualquier extraño poder de $n$, siempre que se considere la posibilidad de divisibilidad por $2^n$. Un ejemplo de $n=7$ es:

$$194^7 + 150^7+105^7 +23^7 -192^7-152^7-132^7-38^7=0$$

donde $105+23=2^7$.