Calcular la probabilidad de que el resultado de la quinta tirada de un dado sea uno de los 4 anteriores

Question

Un dado se tira al azar cinco veces, la probabilidad de que el resultado de el quinto lanzamiento es uno de los resultados de los primeros 4 lanzamientos es

Intento:

Para los primeros 4, hay las siguientes posibilidades: (después de eso multiplicaremos las posibilidades para la quinta)

1. Todos diferentes

2. 2 iguales 2 diferentes

3. 3 iguales 1 diferentes

4. Todo lo mismo.

$1.$ Todo es diferente:

Número de formas: $(6*5*4*3) \times\dbinom 41 = 1440$

$2$ . $2$ lo mismo, $2$ diferente:

Número de formas: $ \dfrac {4!}{2!} \dbinom 63 \times \dbinom 31 = 720$

$3$ . $3$ lo mismo, $1$ diferente:

Número de formas: $ \dfrac {4!}{3!} \dbinom 62 \times \dbinom 21 = 120$

$4$ . Todo lo mismo:

Número de formas: $ \dbinom 61 \times \dbinom 11 = 6$

Así, $p(E) = \dfrac {@1+@2+@3+@4}{6^5} = \dfrac {381}{6^4}$

Pero la respuesta dada es: $ \dfrac {671}{6^4}$

¿Cuál es mi error?

Editar:

Olvidé usarla: (como señaló @anryvian en comentarios)

$5.$ 2 iguales, 2 iguales:

Número de formas: $ \dfrac {4!}{2!2!} \times \dbinom 6 2 \times 2 = 180$

Lo que da la respuesta como: $ \dfrac {411}{6^4}$ (sigue siendo incorrecto :( )

Answer 1

Un enfoque más fácil: el evento complementario es "ninguno de los primeros cuatro lanzamientos es igual al quinto".

$$1- \left ( \frac {5}{6} \right )^4$$

Aún no he encontrado la forma de arreglar su intento (lo cual es un enfoque válido), pero espero que yo (o alguien más) lo atrape pronto.

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Cálculos corregidos:

1. $1440$ es correcto.
2. $ \frac {4!}{2!} 6 \cdot \binom {5}{2} \cdot 3 = 2160$ (Tienes que elegir qué número es la pareja y cuáles son los solteros)
3. $ \frac {4!}{3!} 6 \cdot 5 \cdot 2 = 240$ . (Tienes que elegir qué número es el triple y cuál es el simple)
4. $6$ es correcto.
5. $180$ es correcto.