El mapa de anillos graduados$k[w, x, y, z] \rightarrow k[s, t]$ induce una inserción cerrada$\mathbb{P}_k^1 \rightarrow \mathbb{P}_k^3$

Question

Muestran que el mapa de graduados anillos de $k[w, x, y, z] \rightarrow k[s, t]$ dado por $(w, x, y, z) \mapsto (s^3, s^2t, st^2, t^3)$ induce un cerrado de incrustación $\mathbb{P}_k^1 \rightarrow \mathbb{P}_k^3$, lo que produce un isomorfismo de $\mathbb{P}_k^1$ con el trenzado cúbicos.

Creo que tengo que usar el siguiente ejercicio: Si $S \rightarrow R$ es un surjection graduales de anillos, entonces el dominio de la inducida por morfismos es $Proj (R)$, y la inducida por morfismos $Proj (R) \rightarrow Proj (S)$ es un cerrado de incrustación.

Sin embargo, no veo cómo el mapa de $(w, x, y, z) \mapsto (s^3, s^2t, st^2, t^3)$ es surjective.

Answer 1

Usted está en lo correcto de que el mapa no es surjective. El punto es que este mapa tiene la imagen en grados divisible por $3$, y por lo que los factores a través de los asociados Veronese sub-anillo de $k[s, t]$ compone de las piezas de grado divisible por $3$, en la que se surjective. En un lenguaje preciso:

Deje $S = k[x, y, z, w], R = k[s, t]$, y deje $\varphi \colon S \to R$ ser el de morfismos de graduados anillos descrito anteriormente. Deje $R' := \bigoplus_{j = 0}^{\infty} R_{3j}$ ser el sub-anillo de $R$ que consta de los componentes de $R$ con grado divisible por $3$. Los morfismos de graduados anillos de $i \colon R' \to R$ induce un isomorfismo $\tilde{i} \colon \mathrm{Proj}(R) \to \mathrm{Proj}(R')$; esto es, por ejemplo, el Ejercicio 6.4 H de Vakil "Fundamentos de la Geometría Algebraica".

Tenga en cuenta que $\varphi$ toma de imagen en $R'$, por lo tanto, dejar $\varphi'$ ser el mapa de $S \to R'$ define exactamente como $\varphi$ es, $\varphi = i \circ \varphi'$. Desde $\varphi'$ es surjective, la inducida por el mapa de $\tilde{\varphi'} \colon \mathrm{Proj}(R') \to \mathrm{Proj}(S)$ es un cerrado de incrustación. Por lo tanto, desde el $\tilde{\varphi} \colon \mathrm{Proj}(R) \to \mathrm{Proj}(S)$ es la composición de un isomorfismo ($\tilde{i}$) con una cerrada incrustación de objetos ($\tilde{\varphi'}$), es en sí un cerrado la incorporación, como se desee.