Solución de esta ecuación diofantina

Question

Si $x$ y $y$ son números primos que satisfacen $x^2-2y^2=1$ , resuelve para $x$ y $y$ .

Mi intento :

$x^2-2y^2=1$

$\implies (x+\sqrt{2}y)(x-\sqrt{2}y)=1$

$\implies (x+\sqrt{2}y)=1$ y $(x-\sqrt{2}y)=1$

$\implies x=1$ y $y=0$

Claramente $x$ y $y$ no son números primos . ¿Por qué no funciona mi solución? He sido capaz de resolver ecuaciones de tipo similar mediante la factorización y la posterior enumeración de los factores enteros y los diferentes casos. ¿Por qué no funciona aquí?

Answer 1

El fallo es que los irracionales también pueden producir el producto a $1$ .
Considere $x=3$ y $y=2$ entonces obtenemos, $(3+\sqrt{2} \cdot 2)(3-\sqrt{2}\cdot 2)=1$
Por lo tanto, el fallo está pasando del paso 2 al 3. Hay que mirar debajo del anillo de $a+b\sqrt{2}$ en ese paso.

Answer 2

¿Qué pasa con

\begin{align*}&x^2-2y^2=1\tag{1}\\\iff & x^2-1=(x+1)(x-1)=2y^2\end{align*}

Desde $2\mid (x+1)(x-1)$ concluimos que tanto $(x+1)$ y $(x-1)$ tienen que ser pares, y por lo tanto $$4\mid 2y^2\implies 2\mid y^2\implies 2\mid y$$ y como $y$ es primo, $\color{red}{y=2}$ . ¿Puedes terminar ahora?

De (1) se deduce inmediatamente que $x^2-2y^2=x^2-8=1$ . Por lo tanto, la única solución es $\color{blue}{(3, 2)}$ .

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Apéndice

El problema de su método es que para $a,b\in\mathbb R$

$$a·b=1\not\Rightarrow a=1\;\text{ and }\;b=1$$

De hecho, esto sólo funciona si $$a·b=0\implies a=0\;\text{ or }\;b=0$$