Encuentra$f(x)$ si$f(x)+f\left(\frac{1-x}{x}\right)=1-x$

Question

Si $f: \mathbb{R} \to\mathbb{R} $ , $x \ne 0,1$

Encuentre todas las funciones $f(x)$ de modo que $f(x)+f\left(\frac{1-x}{x}\right)=1-x$

Mi intento:

Al dejar $$g(x)=x+f(x)$ $ obtenemos

PS

Reemplazando $$g(x)+g\left(\frac{1-x}{x}\right)=\frac{1}{x}$ , obtenemos:

PS

¿Alguna pista aquí?

Answer 1

Persiguiendo esa idea en los comentarios: $f(x)+f\left(\frac{1-x}{x}\right) = 1-x$, a continuación, $f\left(\frac{1-x}{x}\right) + f\left(\frac{2x-1}{1-x}\right) = \frac{2x-1}{x}$, a continuación, $f\left(\frac{2x-1}{1-x}\right) + f\left(\frac{2-3x}{2x-1}\right) = \frac{2-3x}{1-x}$ y así sucesivamente. No vuelve atrás.

De hecho, sólo hay dos puntos para los que la secuencia de la que obtenemos de la iteración $T(x) =\frac{1-x}{x}$ nunca se repite; sus dos puntos fijos $\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$. Tenemos $T^n(x)=\frac{F_n-F_{n+1}x}{F_nx -F_{n-1}}$ donde $F_n$ es la secuencia de Fibonacci; la resolución de $T^n(x)=x$, se obtiene la ecuación cuadrática $F_nx^2 -F_{n-1}x = F_n-F_{n+1}x$, que se simplifica a $F_n(x^2+x-1)=0$.

Debido a este comportamiento, se puede construir un número infinito de muy mal comportamiento de las funciones que satisfacen la ecuación funcional. Elegir arbitraria $x$, elija $f(x)$ arbitrariamente, definir $f(Tx) = 1-x-f(x)$, definir $f(T^{-1}x)=1-T^{-1}x-f(x)$, y sigo recorrer en ambas direcciones. Repita este proceso en los nuevos valores de $x$ hasta que todo se llena.

Hay un lugar que exige un tratamiento especial - la secuencia de $$\dots,\frac58,\frac35,\frac23,\frac12,1,0,\infty,-1,-2,-\frac32,-\frac53,-\frac85,\dots$$ Aquí, no podemos recorrer en ambos sentidos, debido a que $\infty$. En su lugar, elija un valor arbitrario para $f(-1)$ e iterar sólo hacia adelante, y un valor arbitrario para $f(1)$ e iterar hacia atrás solamente. Necesitamos que el valor de $f(1)$ a sentido funcional de la ecuación de $f\left(\frac12\right)+f(1)=\frac12$ a $\frac12$; este problema no se presta perfectamente a cortar el dominio de $f$ alrededor de los malos valores.

Que la secuencia de teclas puede ser usada para cortar el $\mathbb{R}$ en las regiones que cada uno sólo aparecen una vez en cada secuencia de la recorre de $T$. Nuestras opciones pueden ser condensado a una elección de una función arbitraria en $[1,\infty)$ y una elección de un valor arbitrario a $-1$.

Este problema simplemente no tienen una buena respuesta. Es bastante probable que la pregunta está en el error, y la transformación de $T$ estaba destinado a ser algo finito de orden como $\frac{x-1}{x}$.

Answer 2

Similares a Encontrar $f(x)$ donde $ f(x)+f\left(\frac{1-x}x\right)=x$:

$f(x)+f\left(\dfrac{1-x}{x}\right)=1-x$

$f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}-1\right)=1-x$

$\because$ La solución general de la $T(x+1)=\dfrac{1}{T(x)}-1$ es $T(x)=\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+1}+\Theta(x)(-\sqrt5-1)^{x+1}}{2(\sqrt5-1)^x+2\Theta(x)(-\sqrt5-1)^x}$ , donde $\Theta(x)$ es arbitraria función periódica con período de la unidad de

$\therefore f\left(\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}\right)+f\left(\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}-1\right)=1-\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}$

$f\left(\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}\right)+f\left(\dfrac{(\sqrt5-1)^x(3-\sqrt5)+(-\sqrt5-1)^x(3+\sqrt5)}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}\right)=\dfrac{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x-(\sqrt5-1)^x(\sqrt5-1)-(-\sqrt5-1)^x(-\sqrt5-1)}{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}$

$f\left(\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}\right)+f\left(\dfrac{\dfrac{(\sqrt5-1)^x(\sqrt5-1)^2}{2}+\dfrac{(-\sqrt5-1)^x(\sqrt5+1)^2}{2}}{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}\right)=\dfrac{(\sqrt5-1)^x(3-\sqrt5)+(-\sqrt5-1)^x(3+\sqrt5)}{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}$

$f\left(\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}\right)+f\left(\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+2}+(-\sqrt5-1)^{x+2}}{2(\sqrt5-1)^{x+1}+2(-\sqrt5-1)^{x+1}}\right)=\dfrac{(\sqrt5-1)^x(3-\sqrt5)+(-\sqrt5-1)^x(3+\sqrt5)}{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}$

$f\left(\dfrac{(\sqrt5-1)^{x+1}+(-\sqrt5-1)^{x+1}}{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}\right)=\Theta(x)(-1)^x+\sum\limits_x\dfrac{(\sqrt5-1)^x(3-\sqrt5)+(-\sqrt5-1)^x(3+\sqrt5)}{2(\sqrt5-1)^x+2(-\sqrt5-1)^x}$

donde $\Theta(x)$ es arbitraria función periódica con período de la unidad de