Número de números racionales en$A$

Question

Consideremos el conjunto a$A=\{\sqrt{2017+n^2}:n\in N\}$. Cuántos números en el conjunto a son racionales?

Mi intento:

La raíz cuadrada de un número entero no negativo puede ser un número racional o un número irracional. Cuando es un número racional tiene que ser un número entero. No puede ser otra cosa (yo no sé exactamente por qué, pero mi mente dice así).

Así por esta lógica, si $\sqrt{2017+n^2},n\in N$ es un número racional , tiene que ser un entero positivo. Por lo tanto, $2017+n^2=k^2$, para algunas de las $k\in N$. Por lo tanto, $2017=(k+n)(k-n)$. Desde $k,n\in N$, e $2017$ es un número primo, $(k+n)=2017,(k-n)=1$. Esto implica, $k=1009, n=1008$. Ya tenemos un valor de $n$, sólo hay un número es $A$ , que es racional.

Es mi razonamiento y mi respuesta? Si no, entonces ¿cuál es el correcto razonamiento y respuesta, y si sí, entonces ¿cuál es la justificación de la línea en negrita?

Answer 1

Esta prueba se ve bien para mí.

¿cuál es la justificación de la línea en negrita?

Tomar un número racional $\frac ab$ que no es un número entero. Suponga que está escrito en la forma más simple. A continuación hay algunos de los mejores que divide $b$ pero no $a$. El mismo primer dividirá $b^2$ pero no $a^2$, mostrando que $\frac{a^2}{b^2}$ no es un número entero.

Ya no enteros, racionales nunca han entero plazas, enteros nunca puede tener no enteros racionales de las raíces cuadradas.

Answer 2

Cuando es un número racional tiene que ser un número entero. No puede ser otra cosa

Para esto, puede utilizar la Raíz Racional Teorema de

Considere el polinomio $x^2 - (n^2+2017)$ cuyas raíces producir lo que desea. Aquí, $a_0 = n^2+2017$ e $a_n=1$. El teorema establece que cualquier racional raíz de $x = \large{\frac{p}{q}}$ (en su mínima expresión, es decir, $gcd(p, q) = 1$), será tal que $p\ |\ a_0$ e $q\ |\ a_n$.

Aquí desde $a_n=1$, claramente no significa $q=1$ y por lo tanto todos los $x \in \mathbb Z$

Answer 3

$2017+n^2 = \frac{a^2}{b^2} \iff (2017+n^2)b^2 = a^2$

Recordar si $a^2k$ es un cuadrado, a continuación, $k$ es un cuadrado, de manera $2017+n^2=s^2$ para algunos $s$.

Ahora tenemos $2017 = (s-n)(s+n)\implies s-n=1$ desde $2017$ es primo.

Llegamos a la conclusión de $s=n+1$ e lo $2017 = s+n = 2n+1\implies n = 1008$

Answer 4

Así, lo que aquí se necesita es:

(A.) Si $n \in \Bbb N$ es no es un cuadrado perfecto, entonces $\sqrt n \notin \Bbb Q$.

Podemos ver esto como sigue:

Deje $\sqrt n \in \Bbb Q \setminus \Bbb Z$; a continuación,

$\sqrt n = \dfrac{r}{s}, \; 0 < r, s \in \Bbb Z; \tag 1$

podemos suponer que la

$\gcd(r, s) = 1; \tag 2$

tomamos nota de que

$s \ne 1, \tag 3$

no sea que (1) afirmar que

$\sqrt n = r \in \Bbb Z; \tag 4$

a partir de (1),

$r^2 = ns^2; \tag 5$

a la luz de (3), existe alguna prime $p \ge 2$ con

$p \mid s \Longrightarrow p \mid s^2 \Longrightarrow p \mid r^2 \Longrightarrow p \mid r \Rightarrow \Leftarrow \gcd(r, s) = 1; \tag 6$

así vemos que la asunción (1) los rendimientos de los resultados contradictorios; por lo tanto

$\sqrt n \notin \Bbb Q. \tag 7$

Esta demostración de curso imita a la famosa prueba presentada por Euclides en sus Elementos, Prop. 117, Libro X, y justifica la "línea en negrita" se presenta en el texto de la pregunta.

Habiendo establecido (Un), el resto de nuestros OP MrAP la prueba de que el único entero en el conjunto

$A = \{ \sqrt{2017 + n^2}: n \in \Bbb N \} \tag 8$

es $1009$, correspondiente a $n = 1008$, con éxito cae en su lugar.